vement à chaque instant sera limitée par deux surfaces planes et parallèles, dont les distances à l’origine des coordonnées sont
et dont la normale fait avec les axes de
les angles qui ont
pour cosinus ; ces trois constantes étant liées entre elles par l’équation :
![{\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a811ae101ad387adcfaac7fe052dcc3aa94cd6f9)
Ce mouvement sera donc celui qui se propage par des ondes planes, parallèles et d’une épaisseur constante. Mais pour qu’il puisse avoir lieu dans le fluide que l’on considère, il faut que les valeurs précédentes de
satisfassent aux équations (4) et (5). Or, en les y substituant et égalant les coefficient de
et
dans les deux membres de chaque équation, afin que
reste une fonction arbitraire, il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}&=a^{2}{\frac {d\mathrm {T} }{dx}},\qquad {\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}=a^{2}{\frac {d\mathrm {T} }{dy}},\qquad {\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}=a^{2}{\frac {d\mathrm {T} }{dz}},\\{\frac {d\mathrm {T} }{dt}}&={\frac {d\mathrm {X} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {Z} }{dz}},\\\mathrm {X} \omega &=a^{2}\mathrm {T} \alpha ,\qquad \mathrm {Y} \omega =a^{2}\mathrm {T} \beta ,\qquad \mathrm {Z} \omega =a^{2}\mathrm {T} \gamma ,\\\mathrm {T} \omega &=\mathrm {X} \alpha +\mathrm {Y} \beta +\mathrm {Z} \gamma .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364b798a54a453fb26e4b7783cead446ac4a9bb9)
Si l’on élimine
de la quatrième ou de la dernière équation, au moyen des trois équations intermédiaires, on a
![{\displaystyle \omega ^{2}=a^{2}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)=a^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416f884e00c2826f0f6f1c2efecd2297df058b52)
Nous prendrons
et, par conséquent,
![{\displaystyle \mathrm {X} =a\mathrm {T} \alpha ,\qquad \mathrm {Y} =a\mathrm {T} \beta ,\qquad \mathrm {Z} =a\mathrm {T} \gamma \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ddbce9dd9c4a27aa3eeb9475a4efddcbb858743)
ce qui tiendra lieu des cinq dernières équations. Les trois premières deviendront ensuite