Telles sont donc les intégrales complètes des équations (2) qu’il s’agissait d’obtenir. Leur forme est moins simple que celle des intégrales que j’ai trouvées pour les mêmes équations, dans l’Addition à mon Mémoire sur l’équilibre et le mouvement des corps élastiques[1] ; mais elles ont l’avantage d’être symétriques par rapport aux trois inconnues
et aux variables
et les fonctions arbitraires qu’elles renferment sont les valeurs initiales de
[2]. En effet, on vérifie immédiatement que les valeurs
- ↑ Tome VIII de cette collection, page 623.
- ↑ Depuis que ce Mémoire est écrit, M. Ostrograski, de l’Académie de Saint-Pétersbourg, m’a communiqué d’autres intégrales des équations (2) qu’il a présentées à cette Académie. Ces intégrales sont :
![{\displaystyle {\begin{aligned}4\pi u={\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }f\left(x+bt\cos .\theta ,y+bt\sin .\theta \sin .\omega ,\right.&\\\left.z+bt\sin .\theta \cos .\omega \right)&t\sin .\theta \,d\theta \,d\omega +{\frac {dq}{dx}},\\4\pi v={\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }f'\left(x+bt\cos .\theta ,y+bt\sin .\theta \sin .\omega ,\right.&\\\left.z+bt\sin .\theta \cos .\omega \right)&t\sin .\theta \,d\theta \,d\omega +{\frac {dq}{dy}},\\4\pi w={\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }f''\left(x+bt\cos .\theta ,y+bt\sin .\theta \sin .\omega ,\right.&\\\left.z+bt\sin .\theta \cos .\omega \right)&t\sin .\theta \,d\theta \,d\omega +{\frac {dq}{dz}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b6615a72ae4f01a3bf6e715b3477d02f9e1f6a)
en les réduisant à la partie dépendante des fonctions
et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}q=&\int _{bt}^{at}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\left[{\frac {d.}{dx}}f(x+\rho \cos .\theta ,y+\rho \sin .\theta \sin .\omega ,z+\rho \sin .\theta \cos .\omega )+\right.\\&{\frac {d.}{dy}}f'(x+\rho \cos .\theta ,y+\rho \sin .\theta \sin .\omega ,z+\rho \sin .\theta \cos .\omega )+\\&\left.{\frac {d.}{dz}}f''(x+\rho \cos .\theta ,y+\rho \sin .\theta \sin .\omega ,z+\rho \sin .\theta \cos .\omega )\right]\rho \sin .\theta \,d\rho \,d\theta \,d\omega .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd000f3c0a16b6b19149b4b3102878b042fe3f6e)