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Cela posé, l’intégrale complète de l’équation $(2)$ est de la forme :

$\varphi =fonct.(x-y)+Fonct.(x+y)\,;$

d’où l’on conclut immédiatement

$\left.{\begin{aligned}v=&f(x-y)+\operatorname {F} (x+y),\\as=&f(x-y)-\operatorname {F} (x+y)\,;\end{aligned}}\right\}(3)$

$f$ et $\operatorname {F}$ désignant deux fonctions arbitraires, qu’il s’agira de déterminer d’après le mode d’ébranlement du fluide, et les conditions qui auront lieu aux extrémités du tube.

(3) Supposons qu’à l’origine du mouvement, on a imprimé, par un moyen quelconque, aux differentes tranches fluides, des vitesses connues ; qu’en même temps, on leur a fait subir des condensations aussi données ; et qu’ensuite on a abandonné le fluide lui-même. Soient

$v=\psi x,\qquad s=\Psi x,$

les expressions de ces vitesses et de ces condensations ; $\psi$ et $\Psi$ indiquant des fonctions données pour toute l’étendue de la colonne fluide. Comme à l’origine du mouvement, on a $y=at=0,$ il en résulte

$\psi x=fx+\operatorname {F} x,\qquad a\Psi x=fx-\operatorname {F} x\,;$

d’où l’on tire

$fx={\frac {1}{2}}\psi x+{\frac {a}{2}}\Psi x,\qquad \operatorname {F} x={\frac {1}{2}}\psi x-{\frac {a}{2}}\Psi x.$

Mettant successivement $x+y$ et $x-y$ à la place de $x$ dans ces valeurs de $fx$ et $\operatorname {F} x,$ on aura celles des fonctions qui