Cela posé, l’intégrale complète de l’équation
est de la forme :
![{\displaystyle \varphi =fonct.(x-y)+Fonct.(x+y)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a01e2cb1e3d11e7921a4e1e087c46aeea5d81c)
d’où l’on conclut immédiatement
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}v=&f(x-y)+\operatorname {F} (x+y),\\as=&f(x-y)-\operatorname {F} (x+y)\,;\end{aligned}}\right\}(3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a3f6be0c7931299163719a5986773abdab6423)
et
désignant deux fonctions arbitraires, qu’il s’agira de déterminer d’après le mode d’ébranlement du fluide, et les conditions qui auront lieu aux extrémités du tube.
(3) Supposons qu’à l’origine du mouvement, on a imprimé, par un moyen quelconque, aux differentes tranches fluides, des vitesses connues ; qu’en même temps, on leur a fait subir des condensations aussi données ; et qu’ensuite on a abandonné le fluide lui-même. Soient
![{\displaystyle v=\psi x,\qquad s=\Psi x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf0acab738079f7fa9c31aa8c08c576c9bc2a5d)
les expressions de ces vitesses et de ces condensations ;
et
indiquant des fonctions données pour toute l’étendue de la colonne fluide. Comme à l’origine du mouvement, on a
il en résulte
![{\displaystyle \psi x=fx+\operatorname {F} x,\qquad a\Psi x=fx-\operatorname {F} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8e6821287e53f2fb36b0fbf41925fb7a9f2ea7)
d’où l’on tire
![{\displaystyle fx={\frac {1}{2}}\psi x+{\frac {a}{2}}\Psi x,\qquad \operatorname {F} x={\frac {1}{2}}\psi x-{\frac {a}{2}}\Psi x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b14406a8679938eef2143c548a2cfee38b62770)
Mettant successivement
et
à la place de
dans ces valeurs de
et
on aura celles des fonctions qui