et que ces deux différences, pour
ou
deviennent l’une et l’autre inférieures à
Effectivement, si l’on nomme
un nombre compris entre les limites
on aura, en vertu de formules connues,
![{\displaystyle \sin x=x-x^{3}{\frac {\cos \theta x}{6}},\qquad -{\frac {1}{x^{2}}}\left({\frac {\sin x}{x}}-1\right)={\frac {\cos \theta x}{6}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18970cab21e90ec0ee00fbfbbe5b9660a1146107)
puis on en conclura, en posant ![{\displaystyle x={\frac {\pi }{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcd57bc553f2fac2b64dd01940c067f89ee0fb2a)
![{\displaystyle n'\left[1-{\frac {\sin {\cfrac {\pi }{2n}}}{\left({\cfrac {\pi }{2n}}\right)}}\right]={\frac {\pi ^{2}}{2n}}\cos \theta x<{\frac {\pi ^{2}}{24}}<1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6265243a81373e9741f1e14c9d5a5fb71d10d0ae)
D’autre part, le développement de
suivant les puissances ascendantes de
ne renfermant que des termes positifs pour
et subsistant pour toutes les valeurs de
inférieures à
la fonction
![{\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}\left({\frac {\operatorname {tang} x}{x}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a376bad551ba29b09f709d6c13ef1f19d51aa570)
croîtra avec
depuis
jusqu’à
et par suite le produit
![{\displaystyle n'\left[{\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {\pi }{2n}}}{\left({\cfrac {\pi }{2n}}\right)}}-1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db397737e75fd0abd74c7c57a11138fe6a773586)
décroitra pour des valeurs croissantes de
Or, pour
ce produit devient
![{\displaystyle {\frac {9}{\pi }}\left(2{\sqrt {3}}-\pi \right)<3\left(2{\sqrt {3}}-\pi \right)={\sqrt {108}}-3\pi <1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/604104ceb504beebd615a228862d2649b4718ff3)
Le théorème 2 étant ainsi démontré pour le cas particulier