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Corollaire. Lorsque $S$ représente une surface plane, la quantité $A$ se réduit à la projection absolue de cette surface sur le plan $\mathrm {HIK} .$ Lorsque $S$ représente une surface fermée et convexe, en sorte qu’elle ne puisse être coupée par une droite en plus de deux points, $A$ se réduit au double de la projection de cette surface sur le plan $\mathrm {HIK} .$

Exemple. Si $S$ représente la surface de l’ellipsaïde qui a pour équation

(10)

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,$

$A$ sera la section transversale du cylindre circonscrit à l’ellipsoïde et dont les arêtes-sont parallèles à la droite $\mathrm {OO} '$. Soient $R$ le rayon de l’ellipsoïde parallèle à la droite $\mathrm {OO} '$, et $\alpha ,{\text{ϐ}},\gamma ,$ les angles formés par cette droite avec les deux axes des coordonnées positives. On aura

(11)

$\cos \alpha =\cos p,\qquad \cos {\text{ϐ}}=\sin p\cos q,\qquad \cos \gamma =\sin p\sin q,$

(12)

${\frac {1}{R^{2}}}={\frac {\cos ^{2}\alpha }{a^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}{\text{ϐ}}}{b^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\gamma }{c^{2}}}\,;$

et l’équation du cylindre ci-dessus mentionné deviendra

(13)

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-R^{2}\left({\frac {x\cos \alpha }{a^{2}}}+{\frac {y\cos {\text{ϐ}}}{b^{2}}}+{\frac {z\cos \gamma }{c^{2}}}\right)^{2}=1.$

Or, la section faite dans le cylindre par le plan des $x,y$ étant l’ellipse qui a pour équation

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-R^{2}\left({\frac {x\cos \alpha }{a^{2}}}+{\frac {y\cos {\text{ϐ}}}{b^{2}}}\right)^{2}=1,$

la surfaee de cette section sera

${\frac {\pi abc}{R\cos \gamma }},$

et par conséquent l’aire de la section faite par un plan perpendiculaire aux arêtes sera