Donc
sera compris entre les limites
(18)
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D'ailleurs, le polyèdre ci-dessus mentionné étant convexe et renfermé entre les sphères décrites avec les rayons
![{\displaystyle r,\qquad r(1+\varepsilon ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c833ac9cecde6c13b830e39a24955ec68ae4a5)
la surface
du polyèdre sera comprise entre les limites
![{\displaystyle 4\pi r^{2},\qquad 4\pi r^{2}(1+\varepsilon )^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3135cab8a821877eaf644b8fcce64b3121e46a)
et ses projections
seront renfermées entre les surfaces des grands cercles
![{\displaystyle \pi r^{2},\qquad \pi r^{2}(1+\varepsilon )^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86993d41dd3f0046813597dd54c8b5c321f1c07c)
Donc les expressions (18) seront comprises entre les limites
![{\displaystyle \mu {\frac {4\pi r^{2}}{2\pi r^{2}(1+\varepsilon )^{2}}},\qquad \mu {\frac {4\pi r^{2}(1+\varepsilon )^{2}}{2\pi r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987c48a309087d69ac6f4aa26a4cfeebfcf678ff)
ou, ce qui revient au même, entre les limites
![{\displaystyle {\frac {2\mu }{(1+\varepsilon )^{2}}},\qquad 2\mu (1+\varepsilon )^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d21a588ffd6b7725f4311e88cf9023bade74223)
qui, l’une et l’autre, diffèrent très-peu de
quand
est très-petit et, si l’on prend
pour valeur approchée de
l’erreur commise ne dépassera pas le produit de
par la plus grande des différences
![{\displaystyle 1-{\frac {1}{(1+\varepsilon )^{2}}},\qquad (1+\varepsilon )^{2}-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/172dd1be8d48504cb4d3df58882b98f62e199bc0)
c’est-à-dire, par l’expression (16). Le théorème 5 étant ainsi démontré pour le cas où la quantité
se réduit à une surface plane
il suffira, pour le démontrer dans le cas con-