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la caractéristique d’une différentiation relative à $t,$ on ait, en adoptant les conventions du paragraphe 3^e,

(33)

$\nabla _{0}u=f_{0}(\alpha ).u,\qquad \nabla _{1}u=f_{1}(\alpha ).u,\ldots \qquad \nabla _{n-1}u=f_{n-1}(\alpha ).u.$

On tirera des équations (32)

(34)

$\left\{{\begin{aligned}&\nabla _{0}\mathrm {T} _{0}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {A} _{1}+\ldots +\mathrm {A} _{n}(\Theta +\theta \mathrm {i} )^{n-1}}{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}f_{0}(\Theta +\theta \mathrm {i} ).e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )t}{\frac {d\theta }{2\pi }},\\&\nabla _{0}\mathrm {T} _{1}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {A} _{2}+\ldots +\mathrm {A} _{n}(\Theta +\theta \mathrm {i} )^{n-2}}{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}f_{0}(\Theta +\theta \mathrm {i} ).e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )t}{\frac {d\theta }{2\pi }},\\&{\text{etc}}\ldots \\&\nabla _{0}\mathrm {T} _{n-1}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {A} _{n}}{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}f_{0}(\Theta +\theta \mathrm {i} ).e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )t}{\frac {d\theta }{2\pi }}.\end{aligned}}\right.$

etc.

et de l’équation (31)

(35)

$\left\{{\begin{aligned}&\nabla _{0}u=u_{0}.\nabla _{0}\mathrm {T} _{0}+u_{1}.\nabla _{0}\mathrm {T} _{1}+\ldots +u_{n-1}.\nabla _{0}\mathrm {T} _{n-1},\\&\nabla _{1}u=u_{0}.\nabla _{1}\mathrm {T} _{0}+u_{1}.\nabla _{1}\mathrm {T} _{1}+\ldots +u_{n-1}.\nabla _{1}\mathrm {T} _{n-1},\\&{\text{etc}}\ldots \\&\nabla _{n-1}u=u_{0}.\nabla _{n-1}\mathrm {T} _{0}+u_{1}.\nabla _{n-1}\mathrm {T} _{1}+\ldots +u_{n-1}.\nabla _{n-1}\mathrm {T} _{n-1}.\end{aligned}}\right.$

Cela posé, il deviendra facile de fixer la valeur de $u,$ si l’on donne, au lieu des quantités

$u_{0},\qquad u_{1},\qquad u_{n-1},$

${\begin{aligned}{\text{la valeur de}}\ldots &\nabla _{0}u\quad {\text{correspondante à}}\quad \ t=t_{0},\\&\nabla _{1}u\ \ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad t=t_{1},\\&{\text{etc}}\ldots \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \ {\text{etc}}\ldots \\&\nabla _{n-1}u\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ \ t=t_{n-1}.\end{aligned}}$

En effet, il suffira, dans ce cas, de substituer, dans la formule(31), à la place de $u_{0},\,u_{1},\,\ldots u_{n-1},$ leurs valeurs déduites des équations (35), dont les premiers membres se réduiront à des quantités constantes, et les seconds membres à des fonctions linéaires des inconnues $u_{0},\,u_{1},\,\ldots u_{n-1},$ les coefficients