les coefficients de
![{\displaystyle f'(t),\qquad f''(t),\ldots \qquad f^{(n-1)}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb2db3f236a3e95e3e4d17c5b6bb9f358dd398dc)
sont ce que deviennent les intégrales
![{\displaystyle \mathrm {T} _{1},\qquad \mathrm {T} _{2},\ldots \qquad \mathrm {T} _{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c570a819ed355d8f25ab7ede3373c284541479ea)
pour
c’est-à-dire, égaux aux nombres
![{\displaystyle 0,\qquad 0,\ldots \qquad 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c5bd9413b9d8199b9255b43bfda39f6e0432916)
Quant au coefficient de
c’est-à-dire, à l’intégrale
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {A} _{1}+\mathrm {A} _{2}(\Theta +\theta \mathrm {i} )+\ldots +\mathrm {A} _{n}(\Theta +\theta \mathrm {i} )^{n}}{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}d\theta \\=&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )-\operatorname {F} (0)}{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}{\frac {d\theta }{\Theta +\theta \mathrm {i} }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f936690be35cba8ae6e4a5bb6e7c554f3b4ca9b3)
il est facile de s’assurer que sa valeur sera indépendante de la quantité
et, comme pour de très-grandes valeurs de
on a sensiblement
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )-\operatorname {F} (0)}{\operatorname {F} (\Theta +\theta \mathrm {i} )}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a081c73c1b9d3ab6aa1580faf18739266d8b13)
cette même intégrale se réduira sensiblement à
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\theta }{\Theta +\theta \mathrm {i} }}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Theta d\theta }{\Theta ^{2}+\theta ^{2}}}={\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9860b02942d278f75c5b4a9ea6faf2c950512bf8)
pourvu que l’on se borne à calculer sa valeur principale, qui est effectivement la limite de
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\varepsilon {\sqrt {\theta ^{2}}}}{\frac {d\theta }{\Theta +\theta \mathrm {i} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8638695ab9d7ddaf7bcdc1fede307232e466e6cb)
De plus, comme on a généralement
(45)
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l’équation (44) donnera évidemment
![{\displaystyle \operatorname {F} (\alpha )u={\frac {1}{2}}f(t)+{\frac {1}{2}}f(t)=f(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5007504e8f45f066c31ae78cc834d69cb3545af6)