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et se trouvera ramenée à celle des équations de la forme

(32)

${\begin{aligned}&(a\operatorname {D} _{x}+b\operatorname {D} _{y}\ldots +k\operatorname {D} _{t}+l)\\&\times \varphi \left[-\left({\cfrac {b}{a}}\operatorname {D} _{x}+\ldots +{\cfrac {k}{a}}\operatorname {D} _{t}+{\cfrac {l}{a}}\right),\operatorname {D} _{y},\operatorname {D} _{z}\ldots \operatorname {D} _{t}\right].u=f(x,y\ldots t).\end{aligned}}$

On peut aussi, dans cette hypothèse, présenter l’équation (30) sous la forme

(33)

${\begin{aligned}&\mathrm {A} _{m}(a\operatorname {D} _{x}+b\operatorname {D} _{y}+\ldots +k\operatorname {D} _{t}+l)(a'\operatorname {D} _{x}+b'\operatorname {D} _{y}+\ldots +k'\operatorname {D} _{t}+l)\ldots u\\&\qquad =f(x,y\ldots t)\end{aligned}}$

et l’on en conclut

${\begin{aligned}&\mathrm {A} _{m}(a'\operatorname {D} _{x}+b'\operatorname {D} _{y}+\ldots +k'\operatorname {D} _{t}+l)(a''\operatorname {D} _{x}+b''\operatorname {D} _{y}+\ldots +k''\operatorname {D} _{t}+l'')\ldots u\\&\qquad ={\frac {f(x,y\ldots t)}{a\operatorname {D} _{x}+b\operatorname {D} _{y}\ldots +l}}.\end{aligned}}$

Par suite, si l’on fait

(34)

${\frac {f(x,y,z\ldots t)}{a\operatorname {D} _{x}+b\operatorname {D} _{y}\ldots +k\operatorname {D} _{t}+l}}=\upsilon ,$

c’est-à-dire, si l’on intègre une équation aux différences partielles du premier ordre, on n’aura plus qu'à résoudre l’équation

(35)

$\mathrm {A} _{m}(a'\operatorname {D} _{x}+\ldots +k'\operatorname {D} _{t}+l)(a''\operatorname {D} _{x}+\ldots +k''\operatorname {D} _{t}+l'')\ldots u=\upsilon ,$

dont le second membre est censé connu, et qui se trouve réduite à l’ordre $m-1.$ Or, on tirera de celle-ci, en posant

(36)

${\frac {\upsilon }{a'\operatorname {D} _{x}+b'\operatorname {D} _{y}+\ldots +k'\operatorname {D} _{t}+l'}}=\mathrm {w} ,$

la nouvelle équation

(37)

$\mathrm {A} _{m}(a''\operatorname {D} _{x}+b''\operatorname {D} _{y}+\ldots +k''\operatorname {D} _{t}+l'')\ldots u=\mathrm {w} ,$

qui est de l’ordre $m-2$ seulement ;… et si tous les facteurs sont du premier degré, comme on l’a supposé, on finira par intégrer complètement l’équation (33).

Si l’on supposait

(38)

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )=\varphi (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )\chi (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )\ldots ,$