Ainsi,
étant un facteur quelconque de
la valeur la plus générale de
qui vérifiera la formule (47), vérifiera aussi l’équation (43). Donc, par suite, on pourra prendre pour
dans l’équation (43), la somme des intégrales générales qu'on déduit de l’équation (47), en substituant successivement à
tous les facteurs possibles de
Si l’équation
(48)
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étant résolue par rapport à
donne les valeurs
(49)
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on vérifiera l’équation (43) en prenant pour
la somme des intégrales générales des équations
(50)
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ou
(51)
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Or, si l’on pose
![{\displaystyle u=e^{t\varphi _{0}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )}\psi _{0}(x,y\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d82afa34a411ab3d062804222c8a698d6065b91)
on aura évidemment
![{\displaystyle {\frac {du}{dt}}=\varphi _{0}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )e^{t\varphi _{0}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )}\psi _{0}(x,y\ldots )=\varphi _{0}(\alpha ,\beta \ldots )u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f4dad4c2ec9e7dab74ab66675fdee2ce0dd218)
Donc, la première des équations (51) sera vérifiée. En rai-