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Ainsi, $\chi (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )$ étant un facteur quelconque de $\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots ),$ la valeur la plus générale de $u,$ qui vérifiera la formule (47), vérifiera aussi l’équation (43). Donc, par suite, on pourra prendre pour $u,$ dans l’équation (43), la somme des intégrales générales qu'on déduit de l’équation (47), en substituant successivement à $\chi (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )$ tous les facteurs possibles de $\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots ).$

Si l’équation

(48)

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots \theta )=0,$

étant résolue par rapport à $\theta ,$ donne les valeurs

(49)

$\theta =\varphi _{0}(\alpha ,\beta \ldots ),\qquad \theta _{1}=\varphi _{1}(\alpha ,\beta \ldots ),\ldots \qquad \theta _{m-1}=\varphi _{m-1}(\alpha ,\beta \ldots ),$

on vérifiera l’équation (43) en prenant pour $u$ la somme des intégrales générales des équations

(50)

$\left\{{\begin{aligned}&\left[\theta -\varphi _{0}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )\right]u=0,\\&\left[\theta -\varphi _{1}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )\right]u=0,\\&{\text{etc}}\ldots \\&\left[\theta -\varphi _{m-1}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )\right]u=0.\end{aligned}}\right.$

ou

(51)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {du}{dt}}=\varphi _{0}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )u=0,\\&{\text{etc}}\ldots \\&{\frac {du}{dt}}=\varphi _{m-1}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )u.\end{aligned}}\right.$

Or, si l’on pose

$u=e^{t\varphi _{0}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )}\psi _{0}(x,y\ldots ),$

on aura évidemment

${\frac {du}{dt}}=\varphi _{0}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )e^{t\varphi _{0}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )}\psi _{0}(x,y\ldots )=\varphi _{0}(\alpha ,\beta \ldots )u.$

Donc, la première des équations (51) sera vérifiée. En rai-