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(55)

\left\{{\begin{aligned}&e^{t_{0}\varphi _{0}}\operatorname {F} _{0}(\alpha ,\beta \ldots \varphi _{0})\psi _{0}(x,y\ldots )+\ldots \\&\qquad \qquad +e^{t_{0}\varphi _{m-1}}\operatorname {F} _{0}(\alpha ,\beta \ldots \varphi _{m-1})\psi _{m-1}(x,y\ldots )=0,\\&e^{t_{1}\varphi _{0}}\operatorname {F} _{1}(\alpha ,\beta \ldots \varphi _{0})\psi _{0}(x,y\ldots )+\ldots \\&\qquad \qquad +e^{t_{1}\varphi _{m-1}}\operatorname {F} _{1}(\alpha ,\beta \ldots \varphi _{m-1})\psi _{m-1}(x,y\ldots )=0,\\&{\text{etc}}\ldots \end{aligned}}\right.

Si l’on élimine entre ces dernières $\psi _{1},\,\psi _{2},\,\ldots ,\,\psi _{m-1},$ on obtiendra une nouvelle équation de la forme

(56)

\varpi (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )\psi _{0}(x,y,z\ldots )=0.

$\varpi (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )$ désignant le dénominateur commun des valeurs particulières de $\psi _{0}(x,y,z\ldots ),$ $\psi _{1}(x,y,z\ldots ),$ etc…, $\psi _{m-1}(x,y,z\ldots ),$ déduites par l’élimination des équations (54). Cela posé, on cherchera la valeur générale de $\psi _{0}(x,y,z\ldots ),$ propre à résoudre l’équation (56), à l’aide de la méthode indiquée pour la solution de l’équation (43), puis on la combinera avec des valeurs de $\psi _{1}(x,y,z\ldots ),$ $\psi _{2}(x,y,z\ldots ),$ etc…, $\psi _{m-1}(x,y,z\ldots ),$ déduites des équations

(57)

\left\{{\begin{aligned}&\varpi (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )\psi _{1}(x,y,z)=0,\\&{\text{etc}}\ldots \\&\varpi (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )\psi _{m-1}(x,y,z)=0,\end{aligned}}\right.

de manière que les équations (55) soient toujours satisfaites. On pourrait aussi substituer chaque valeur de $\psi _{0}(x,y,z\ldots )$ dans les équations (55) pour en déduire les valeurs correspondantes de $\psi _{1}(x,y\ldots ),$ $\psi _{2}(x,y\ldots ),\ldots ,$ $\psi _{m-1}(x,y\ldots ).$