Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 22.djvu/245

(59)

$\left[\theta ^{2}+(m+n)\alpha \theta +mn\alpha ^{2}\right]u=0.$

Or, de la formule

$\theta ^{2}+(m+n)\alpha \theta +mn\alpha ^{2}=0,$

ou

$(\theta +m\alpha )(\theta +n\alpha )=0,$

on tire les valeurs suivantes de $\theta$

$\theta =-m\alpha ,\qquad \theta =-n\alpha .$

Donc, par suite

(60)

$u=e^{-m\alpha t}\psi _{0}(x)+e^{-n\alpha t}\psi _{1}(x).$

En outre, les conditions prescrites donneront

(61)

$\left\{{\begin{aligned}e^{-m\alpha t_{0}}\psi _{0}(x)&+e^{-n\alpha t_{0}}\psi _{1}(x)=f_{0}(x),\\e^{-m\alpha t_{1}}\psi _{0}(x)&+e^{-n\alpha t_{1}}\psi _{1}(x)=f_{1}(x)\,;\end{aligned}}\right.$

et l’on en conclura

(62)

$\left\{{\begin{aligned}\varpi (\alpha ).\psi _{0}(x)=&e^{-n\alpha t_{1}}\,f_{0}(x)-e^{-n\alpha t_{0}}f_{1}(x),\\\varpi (\alpha ).\psi _{1}(x)=&e^{-m\alpha t_{0}}f_{1}(x)-e^{-m\alpha t_{1}}f_{0}(x),\end{aligned}}\right.$

$\varpi (\alpha )$ étant déterminé par la formule

(63)

$\varpi (\alpha )=e^{-m\alpha t_{0}}e^{-n\alpha t_{1}}-e^{-n\alpha t_{0}}e^{-m\alpha t_{1}}$

$=e^{-(nt_{0}+mt_{1})\alpha }\left[e^{(m-n)(t_{1}-t_{0})\alpha }-1\right].$

Par suite, en posant

(64)

$(m-n)(t_{1}-t_{0})=k,$

on trouvera

(65)

$\left\{{\begin{aligned}\left(e^{k\alpha }-1\right)\psi _{0}(x)=&e^{(mt_{0}+k)\alpha }f_{0}(x)+e^{mt_{1}\alpha }f_{1}(x),\\\left(e^{k\alpha }-1\right)\psi _{1}(x)=&e^{(nt_{1}+k)\alpha }\ f_{1}(x)+e^{n\alpha t_{0}}f_{0}(x).\end{aligned}}\right.$

Cela posé, les valeurs particulières de $\psi _{0}(x),\,\psi _{1}(x)$ seront

(66)

$\left\{{\begin{aligned}\psi _{0}(x)=&{\frac {e^{(mt_{0}+k)\alpha }f_{0}(x)+e^{mt_{1}\alpha }f_{1}(x)}{e^{k\alpha }-1}},\\\psi _{1}(x)=&{\frac {e^{(nt_{1}+k)\alpha }\ f_{1}(x)+e^{nt_{0}\alpha }f_{0}(x)}{e^{k\alpha }-1}}\,;\end{aligned}}\right.$