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et l’on devra joindre, à ces valeurs particulières, les valeurs générales de $\psi _{0}(x,y),$ $\psi _{1}(x,y)$ tirées des équations

(67)

$\left\{{\begin{aligned}e^{-m\alpha t_{0}}\psi _{0}(x)&+e^{-n\alpha t_{0}}\psi _{1}(x)=0,\\e^{-m\alpha t_{1}}\psi _{0}(x)&+e^{-n\alpha t_{1}}\psi _{1}(x)=0.\end{aligned}}\right.$

Or, ces dernières donnent

$\varpi (\alpha )\psi _{0}(x)=0,$

ou

$\left(e^{k\alpha }-1\right)\psi _{0}(x)=0.$

ou ce qui revient au même,

(68)

$\Delta \psi _{0}(x)=0,$

$\Delta x$ étant égal à $k.$ Donc

(69)

$\psi _{0}(x)=\varphi \left(\cos {\frac {2\pi x}{k}},\,\sin {\frac {2\pi x}{k}}\right).$

De plus, on tirera de la première des équations (67)

${\begin{aligned}\psi _{1}(x)=&e^{(n-m)t_{0}\alpha }\psi _{0}(x)\\=&\psi _{0}\left[x+(n-m)t_{0}\right].\end{aligned}}$

Si, pour plus de simplicité, on écrit

(70)

$\psi _{0}(x)=\varphi \left({\frac {x+mt_{0}}{k}}\right),$

on trouvera

(71)

$\psi _{1}(x)=\varphi \left({\frac {x+nt_{0}}{k}}\right).$

Lorsque

(72)

$u,\qquad {\frac {du}{dt}},\ldots \qquad {\frac {d^{m-1}u}{dt^{m-1}}},$

doivent se réduire à

(73)

$f_{0}(x,y\ldots ),\qquad f_{1}(x,y\ldots ),\ldots \qquad f_{m-1}(x,y\ldots ),$

pour $t=0,$ les équations (55) deviennent