| (80)
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![{\displaystyle u=\left[e^{t\varphi _{0}}-{\frac {(\varphi _{0}-\varphi _{2})(\varphi _{0}-\varphi _{3})\ldots (\varphi _{0}-\varphi _{m-1})}{(\varphi _{1}-\varphi _{2})(\varphi _{1}-\varphi _{3})\ldots (\varphi _{1}-\varphi _{m-1})}}e^{t\varphi _{1}}-{\text{etc.}}\right]\psi _{0}(x,y,z\ldots ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25235e289b2ddc51ddf10a35a4fe09c20c50514e)
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Si, dans cette dernière, on substitue à la place de 
un terme de la forme
étant l’une des racines des équations (77), on obtiendra un résultat nul. Donc la valeur de 
donnée par la formule (80), se réduira tout entière à zéro.
Si, au lieu des valeurs particulières de 
on voulait employer leurs valeurs générales, il faudrait ajouter à la valeur de donnée par l’équation (80), celle qu'on obtiendrait en posant dans l’équation (52)
c’est-à-dire en posant
puis déterminant
à l’aide des équations
| (81)
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![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&\qquad \psi _{1}(x,y,z\ldots )+\ldots +\psi _{m-1}(x,y,z\ldots )=0,\\&\varphi _{1}(\alpha ,\beta \ldots )\psi _{1}(x,y,z\ldots )+\ldots +\varphi _{m-1}(\alpha ,\beta \ldots )\psi _{m-1}(x,y\ldots )=0,\\&{\text{etc}}\ldots \\&\left[\varphi _{1}(\alpha ,\beta \ldots )\right]^{m-2}\psi _{1}(x,y,z\ldots )+\ldots \\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\left[\varphi _{m-1}(\alpha ,\beta \ldots )\right]^{m-1}\psi _{m-2}(x,y\ldots )=0.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e21eb5767cd2a1cf1eb7d2c5d9bef0f473da508f)
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On se trouvera ainsi ramené au cas où l’équation linéaire en 
serait de l’ordre 
relativement à 
et de la forme
| (82)
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Par conséquent, une seule valeur de sera propre à vérifier l’équation
