longer ensuite ces fonctions hors des limites primitives, en recourant, pour
parvenir, aux conditions supplémentaires. Ainsi, par exemple, si, dans le problème des cordes vibrantes, on représente par
![{\displaystyle z=f_{0}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d494c4f8353a13a933387864a3e9ac8d9cb2c24)
la valeur initiale de
on trouvera, pour l’intégrale de
(8)
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déterminée de manière que l’on ait à la fois
(9)
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on trouvera, dis-je,
(10)
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Or, la fonction
qui détermine la forme initiale de la corde, est censée connue seulement entre les limites
(11)
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mais, pour la prolonger hors de ces limites, il suffit d’admettre que les valeurs de
correspondantes aux valeurs précédentes de
sont toujours nulles, c’est-à-dire que l’on a, quel que soit ![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{0}\left(\quad {\frac {t}{m}}\quad \right)&+f_{0}\left(\quad -{\frac {t}{m}}\right)=0,\\f_{0}\left(a+{\frac {t}{m}}\right)&+f_{0}\left(a-{\frac {t}{m}}\right)=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc4bed749bc1d7a8f0f529d4d9b16b65a6ef3a3)
et par conséquent, quel que soit ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
(12)
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Si, dans la seconde des équations (12), on remplace
par
on en tirera