![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{a}f_{0}(x)\sin {\frac {n\pi x}{a}}dx=&c_{n}\int _{0}^{a}\left(\sin {\frac {n\pi x}{a}}\right)^{2}dx\\=&c_{n}\int _{0}^{a}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos {\frac {2n\pi x}{a}}\right)dx\\=&{\frac {a}{2}}c_{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a409181dafa49844edcb6572406815f923fa360e)
Donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {2}{a}}\int _{0}^{a}\sin {\frac {n\pi x}{a}}f_{0}(x)dx\\&={\frac {2}{a}}\int _{0}^{a}\sin {\frac {n\pi \mu }{a}}\mathrm {f} (\mu )d\mu .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/162d6bd6ba69c2a72f38c506a1e3325e8c82831f)
En général, lorsqu'à l’aide des conditions prescrites on aura prolongé les fonctions initiales hors des limites entre lesquelles leurs valeurs étaient connues, les valeurs des fonctions ainsi prolongées se trouveront représentées par des expressions différentes, suivant qu'elles correspondront à tels ou tels systèmes de valeurs de
Si, pour fixer les idées,
désignent des coordonnées rectangulaires, une fonction initiale de la forme
se trouvera successivement représentée par des expressions diverses, suivant que le point correspondant à l’abscisse
appartiendra à telle ou telle portion de l’axe des
une fonction initiale de la forme
se trouvera représentée par des expressions diverses, suivant que le point
se trouvera compris dans telle ou telle portion du plan des
enfin, une fonction initiale de la forme
sera représentée par des expressions diverses, selon que le point
appartiendra à tel pu tel volume compris dans telle ou telle enveloppe extérieure; etc…. Cela posé, pour obtenir les expressions générales de
![{\displaystyle f_{0}(x),\qquad f_{0}(x,y),\qquad f_{0}(x,y,z),\qquad {\text{etc}}\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/740432068d3d6b2f7eb96608b4bb41520c697f18)