![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {f} (x,y)=&0,\qquad &x=&a,\qquad &{\text{ou}}\qquad &\operatorname {f} _{0}(x)=&0,\\\operatorname {F} (x,y)=&0,&x=&b,&{\text{ou}}\qquad &\operatorname {F} _{0}(x)=&0,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/848cd8d7e10b853b27e3f7fb221f0828f34279f9)
et constamment nulle hors de ces limites.
Solution. Il suffira de prendre
(36)
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![{\displaystyle \left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}e^{\beta \left[n\operatorname {F} (x,y)+(1-n)\operatorname {f} (x,y)\right]\mathrm {i} }e^{\alpha \left[m\operatorname {F} _{0}(x)+(1-m)\operatorname {f} _{0}(x)\right]\mathrm {i} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55250edfffefd70489c3d3720613466a7f8eb685)
![{\displaystyle \times f(\mathrm {M,N} )\mathrm {P} dm\,dn\,d\alpha \,d\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/057cbc7031d01280887af16753d28b8417ae2eed)
les valeurs de
et de
étant déterminées par les équations
(37)
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et la valeur de
étant positive et donnée par la formule
(38)
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Cinquième problème. Trouver une fonction
qui soit constamment égale à
entre les limites déterminées par les équations
(39)
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et constamment nulle hors de ces limites.
Solution. Il suffira de prendre (
étant le nombre des variables
)
(40)
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![{\displaystyle \left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ldots \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\ldots e^{\alpha \left[\mu \operatorname {F} _{0}(x)+(1-\mu )\operatorname {f} _{0}(x)\right]\mathrm {i} }e^{\beta \left[\nu \operatorname {F} _{1}(x,y)+(1-\nu )\operatorname {f} _{1}(x,y)\right]\mathrm {i} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34fde36369631d610893770c17931cc78c5b7248)
![{\displaystyle \ldots f(\mathrm {M,N} \ldots )\mathrm {P} d\mu \,d\nu \,d\alpha \,d\beta \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5de47bea9df9571abdc691250955d08209b6195)
les valeurs de
étant déterminées par les équations
(41)
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