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une différentiation relative à $x,$ par $\lambda \mathrm {i} .$ On trouvera de cette manière

(79)

$f(x)={\frac {2(1-\eta )}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}\Lambda e^{\lambda x\mathrm {i} }{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu \,d\lambda ,$

la valeur de $\Lambda$ étant donnée par la formule

(80)

$\Lambda =\mathrm {(A-\lambda i)i}$

$\times {\frac {\left[\mathrm {B} \sin(a-\mu )\lambda +\lambda \cos(a-\mu )\lambda \right]\left[\left(\mathrm {AB} +\lambda ^{2}\right)\cos a\lambda +(\mathrm {B-A} )\lambda \sin a\lambda \right]}{\left({\begin{aligned}&(1-\eta )^{2}\left[\left(\mathrm {AB} +\lambda ^{2}\right)\cos a\lambda +(\mathrm {B-A} )\lambda \sin a\lambda \right]^{2}\\+&(1+\eta )^{2}\left[\left(\mathrm {AB} +\lambda ^{2}\right)\sin a\lambda -(\mathrm {B-A} )\lambda \cos a\lambda \right]^{2}\end{aligned}}\right)}}.$

ou bien encore, à cause des limites $\lambda =-\infty ,$ $\lambda =\infty ,$

(81)

$f(x)={\frac {2}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}(\lambda \cos \lambda x-A\sin \lambda x){\mathfrak {L}}{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu \,d\lambda ,$

la valeur de ${\mathfrak {L}}$ étant à très-peu près

(82)

${\mathfrak {L}}=\left[\mathrm {B} \sin(a-\mu )\lambda +\lambda \cos(a-\mu )\lambda \right]$

$\times {\frac {{\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1-\eta }{2}}\right)\left[\left(\mathrm {AB} +\lambda ^{2}\right)\cos a\lambda +(\mathrm {B-A} )\lambda \sin a\lambda \right]}{\left({\begin{aligned}&\left({\cfrac {1-\eta }{2}}\right)^{2}\left[\left(\mathrm {AB} +\lambda ^{2}\right)\cos a\lambda +(\mathrm {B-A} )\lambda \sin a\lambda \right]^{2}\\+&\left[\left(\mathrm {AB} +\lambda ^{2}\right)\sin a\lambda -(\mathrm {B-A} )\lambda \cos a\lambda \right]^{2}\end{aligned}}\right)}}.$

Or, il est clair que la valeur précédente de ${\mathfrak {L}},$ à cause du facteur infiniment petit ${\frac {1-\eta }{2}},$ sera toujours sensiblement nulle, excepté quand la valeur de $\lambda$ vérifiera la condition

(83)

$\left(\mathrm {AB} +\lambda ^{2}\right)\sin a\lambda -(\mathrm {B-A} )\lambda \cos a\lambda =0.$

On aura de plus

(84)

${\begin{aligned}u=&e^{\left(m^{2}\alpha ^{2}-r\right)t}f(x)\\=&{\frac {2}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}e^{-\left(m^{2}\lambda ^{2}+r\right)t}(\lambda \cos \lambda x-\mathrm {A} \sin \lambda x){\mathfrak {L}}{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu \,d\lambda .\end{aligned}}$

Enfin, si l’on désigne par $\rho$ une des racines de l’équation (83), et par $\varepsilon$ un nombre infiniment petit, on aura évidemment