(122)
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![{\displaystyle {\frac {e^{-a\alpha }}{\mathrm {(A-\alpha )(B+\alpha )} }}\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \left[\eta \mathrm {\frac {(A+\alpha )B-\alpha )}{(A-\alpha )B+\alpha )}} e^{-2a\alpha }\right]^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a6f92f1cc97329b6257f06d02dc9f824a357636)
![{\displaystyle +{\frac {e^{a\alpha }}{\mathrm {(A+\alpha )(B-\alpha )} }}\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \left[\eta \mathrm {\frac {(A-\alpha )B+\alpha )}{(A+\alpha )B-\alpha )}} e^{2a\alpha }\right]^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e1202f7b79cbbf1f529b57cab7bfdb7230370dd)
on trouvera
(123)
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De plus, il est clair que la valeur de
donnée par l’équation (122) deviendra
(124)
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Les formules (123) et (124) coïncident exactement avec les formules (102) et (111). Pour achever la solution du problème, et retrouver la formule (79), il suffira de recourir à l’équation
(103)
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et d’observer qu'on aura généralement
(125)
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Revenons maintenant à l’équation des cordes vibrantes. On a, dans ce cas, pour déterminer
les deux équations
(126)
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De plus, nous appellerons encore
une fonction qui sera égale à la valeur connue de
entre les limites ![{\displaystyle x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54be06efe9f69b9bfb720190b5f29c76944a45b)