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leur numérique de la fonction $\varphi '(\alpha )$ correspondante à $\alpha =\rho \mathrm {i} ,$

$\int _{\rho -\varepsilon }^{\rho +\varepsilon }{\frac {\left(1-\eta ^{2}\right)d\lambda }{1-\eta \left[\varphi (\lambda \mathrm {i} )+{\frac {1}{\varphi (\lambda \mathrm {i} )}}\right]+\eta ^{2}}}={\frac {2\pi }{\mathbf {Q} }},$

$\varepsilon$ étant un nombre très-petit ; et par suite

(21)

$\varpi (x)=\sideset {}{_{-\infty }^{\infty }}\sum \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\mathbf {Q} }}e^{\rho (x-\mu )\mathrm {i} }\operatorname {f} (\mu )d\mu .$

C'est là, en effet, ce que l’on conclura de l’équation (18) combinée avec la formule

(22)

$\operatorname {f} (x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {f} (\mu )e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }d\mu \,d\lambda .$

Si la fonction $\operatorname {f} (x)$ était assujettie à s’évanouir hors des limites $x=0,$ $x=a,$ on aurait

(23)

$\operatorname {f} (x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}\operatorname {f} (\mu )e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }d\mu \,d\lambda ,$

et l’équation (21) serait remplacée par la suivante

(24)

$\varpi (x)=\sideset {}{_{-\infty }^{\infty }}\sum \int _{0}^{a}{\frac {1}{\mathbf {Q} }}e^{\rho (x-\mu )\mathrm {i} }\operatorname {f} (\mu )d\mu .$

Enfin, si l’on supposait

(25)

$\operatorname {f} (x)=\int _{\lambda '}^{\lambda ''}\chi (\lambda )e^{\lambda x\mathrm {i} }d\lambda ,$

on trouverait

(26)

$\varpi (x)=2\pi \sideset {}{_{\lambda '}^{\lambda ''}}\sum \left[{\frac {\chi (\rho )}{\mathbf {Q} }}e^{\rho x\mathrm {i} }\right],$

le signe $\sum$ devant s’étendre à toutes les racines réelles de l’équation (19) comprises entre les limites $\lambda '$ et $\lambda ''.$

Si l’on supposait

(27)

$\varphi (\alpha )={\frac {\psi (\alpha )}{\psi (-\alpha )}},$

l’équation (19), qui fournit les valeurs de $\rho ,$ deviendrait