![{\displaystyle \left.{\begin{array}{ll}{\text{pour}}&x=0\\{\text{et pour}}&x=a\end{array}}\right\}z=0,\quad {\text{quel que soit }}t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c641f7c0fbd30a4ede19ac9ccc930c97f959127a)
et de plus, pour ![{\displaystyle t=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ff4c2b109c38fe7038da6238ae875f4d37e643)
![{\displaystyle z={\mathfrak {f}}(x)\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {dz}{dt}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fded16a379eecfeeabd71c84641fd1023ca2935b)
entre les limites
[
désignant une fonction qui s’évanouisse hors de ces limites].
Solution. Dans ce cas, comme on l’a déjà prouvé, on est conduit aux équations
(37)
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la valeur de
étant déterminée par les formule
(38)
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La première de ces formules pouvant s’écrire comme il suit
![{\displaystyle e^{2a\alpha }f(x)=f(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/810772e8ae10bee848653493e11ebe201c40eebd)
on aura
et de plus
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f(x)=&e^{2an\alpha }f(x),&f(x)=&-e^{-2an\alpha }f(-x),\\f(x)=&e^{-2an\alpha }f(x),\qquad &f(x)=&-e^{2an\alpha }f(-x),\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5010a1adf863c28badfaadf1365df2cf891e34b)
(39)
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Cela posé, on trouvera pour déterminer
l’équation
(40)
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et la valeur de
deviendra
(41)
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Comme on aura d’ailleurs
(42)
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on tirera de la formule (26)