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(43)

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2a}}\sideset {}{_{-\infty }^{\infty }}\sum e^{\rho x\mathrm {i} }\int _{0}^{a}\left(e^{-\rho \mu \mathrm {i} }-e^{\rho \mu \mathrm {i} }\right){\mathfrak {f}}(\mu )d\mu \\&={\frac {1}{2a\mathrm {i} }}\sideset {}{_{-\infty }^{\infty }}\sum e^{\rho x\mathrm {i} }\int _{0}^{a}\sin(\rho \mu ).{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu \\&={\frac {2}{a}}\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \sin \rho x\int _{0}^{a}\sin(\rho \mu ).{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu \\&={\frac {2}{a}}\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \sin {\frac {n\pi x}{a}}\int _{0}^{a}\sin {\frac {n\pi \mu }{a}}{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu .\end{aligned}}$

ce qui est exact.

Troisième problème. Intégrer l’équation

(44)

${\frac {du}{dt}}-m^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+ru=0,\qquad {\text{ou}}\qquad \left(\theta -m^{2}\alpha ^{2}+r\right)u=0,$

de manière que l’on ait

${\text{pour}}\quad \ t=0,\quad u={\mathfrak {f}}(x),\quad {\text{entre les limites }}\left\{{\begin{aligned}x=&0\\x=&a\end{aligned}}\right\},$

$\left.{\begin{array}{lll}{\text{pour}}&x=0,&{\frac {du}{dx}}+\mathrm {A} u=0,\\{\text{pour}}&x=a,&{\frac {du}{dx}}+\mathrm {B} u=0,\end{array}}\right\}{\text{ quel que soit }}t.$

Solution. On aura, comme nous l’avons prouvé,

(45)

$u=e^{\left(m^{2}\alpha ^{2}-r\right)t}f(x),$

(46)

$f(x)=(\mathrm {A} -\alpha )\varpi (x)\,;$

la valeur de $\varpi (x)$ étant assujettie aux équations

(47)

$\left\{{\begin{aligned}&\left[(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }-(\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }\right]\varpi (x)=0,\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \varpi (x)=-\varpi (-x),\end{aligned}}\right.$

et devant être égale à

${\frac {{\mathfrak {f}}(x)}{\mathrm {A} -\alpha }},$

entre les limites $x=0,$ $x=a.$ Cela posé, on trouvera