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forme

(7)

$1_{\frac {2\pi }{n}},$

ne seront autre chose que les racines $n$^ièmes de l’unité, représentées par les divers termes de la suite :

(8)

$1_{0}=1,\qquad 1_{\frac {2\pi }{n}},\qquad 1_{\frac {4\pi }{n}},\quad \ldots \qquad 1_{\frac {2(n-1)\pi }{n}}.$

Il est bon d’observer que, parmi ces termes, deux au plus se réduiront à des quantités algébriques, savoir le premier terme $1_{0}=1,$ et, quand $n$ sera pair, le terme $1_{\pi }=-1,$ que l’on obtiendra en posant $k={\frac {n}{2}}.$ De plus, comme on aura

${\frac {2(n-1)\pi }{n}}=2\pi -{\frac {2\pi }{n}},\qquad {\frac {2(n-2)\pi }{n}}=2\pi -{\frac {4\pi }{n}},\quad \ldots$

et, par conséquent,

$1_{\frac {2(n-1)\pi }{n}}=1_{-{\frac {2\pi }{n}}},\qquad 1_{\frac {2(n-2)\pi }{n}}=1_{-{\frac {4\pi }{n}}},\quad \ldots$

il est clair que les diverses racines de l’unité pourront être représentées non-seulement par les divers termes de la suite (8), mais encore, si $n$ est impair, par les termes de la suite :

(9)

$1_{-{\frac {(n-1)\pi }{n}}},\ldots \quad 1_{-{\frac {4\pi }{n}}},\quad 1_{-{\frac {2\pi }{n}}},\quad 1,\quad 1_{\frac {2\pi }{n}},\quad 1_{\frac {4\pi }{n}},\ldots \quad 1_{\frac {(n-1)\pi }{n}},$

et, si $n$ est pair, par les termes de la suite :

(10)

$1_{-{\frac {(n-2)\pi }{n}}},\ldots \quad 1_{-{\frac {4\pi }{n}}},\quad 1_{-{\frac {2\pi }{n}}},\quad 1,\quad 1_{\frac {2\pi }{n}},\quad 1_{\frac {4\pi }{n}},\ldots \quad 1_{\frac {(n-2)\pi }{n}},\quad -1.$

Si, par exemple, on attribue successivement à $n$ les valeurs

$2,\qquad 3,\qquad 4,\qquad 5,\quad \ldots$

on trouvera pour racines carrées de l’unité les deux quantités