Premier théorème. Soient
(1)
|
|
|
une fonction entière de la variable
et
![{\displaystyle \mathbf {a,b,c,\ldots g,h} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c7615822ab2dfd84e6a4ad7bb7e406eb5ef737b)
les modules des coefficients
![{\displaystyle a,b,c,\ldots g,h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7973a553d3c3b6dd4b464b31732011803d71f271)
Supposons d’ailleurs que, les coefficients
n’étant pas nuls, on nomme
la racine de l’équation binôme
(2)
|
|
|
et
la valeur de
pour laquelle le produit
(3)
|
|
|
devient un maximum, ou, ce qui revient au même, la racine positive unique de l’équation
(4)
|
|
|
Pour rendre le module de la fonction
inférieur au module de son premier terme
il suffira de réduire ce module
à la plus petite des deux valeurs qu'il obtient quand on pose successivement :
![{\displaystyle z=\rho _{\varpi },\qquad z=\varrho _{\varpi }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dfd6cad62c0f9530d1df1894869d835a29d20c3)
Démonstration. Lorsque, l’argument de
étant égal à
le module de
est égal ou inférieur à
le module du binôme
se réduit à la différence
![{\displaystyle \mathbf {a-b} r\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f036d5dfe23c2a46bc18743cada51d9e30429ad)
par conséquent le module de
ne surpasse pas la somme
(5)
|
|
|
D'autre part le produit (3), qui croîtra en passant d’une valeur nulle à sa valeur maximum, tandis que
croîtra depuis zéro jusqu'à
sera toujours positif dans cet intervalle. Donc pour
ou
on aura
(6)
|
|
|