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Premier théorème. Soient

(1)

$Z=a+bz+cz^{2}+\ldots +gz^{n-1}+hz^{n}$

une fonction entière de la variable $z=r_{p},$ et

$\mathbf {a,b,c,\ldots g,h}$

les modules des coefficients

$a,b,c,\ldots g,h.$

Supposons d’ailleurs que, les coefficients $a,\,b$ n’étant pas nuls, on nomme $\rho _{\varpi }$ la racine de l’équation binôme

(2)

$a+bz=0,$

et $\varrho$ la valeur de $r$ pour laquelle le produit

(3)

$r\left(\mathbf {b} -\mathbf {c} r-\ldots -\mathbf {g} r^{n-2}-\mathbf {h} r^{n-1}\right)$

devient un maximum, ou, ce qui revient au même, la racine positive unique de l’équation

(4)

$\mathbf {b} -2\mathbf {c} r-\ldots -(n-1)\mathbf {g} r^{n-2}-n\mathbf {h} r^{n-1}=0.$

Pour rendre le module de la fonction $Z$ inférieur au module de son premier terme $a,$ il suffira de réduire ce module $\mathbf {z}$ à la plus petite des deux valeurs qu'il obtient quand on pose successivement :

$z=\rho _{\varpi },\qquad z=\varrho _{\varpi }.$

Démonstration. Lorsque, l’argument de $z$ étant égal à $\varpi ,$ le module de $z$ est égal ou inférieur à $\rho ,$ le module du binôme $a+bz$ se réduit à la différence

$\mathbf {a-b} r\,;$

par conséquent le module de $Z$ ne surpasse pas la somme

(5)

$\mathbf {a-b} r+\mathbf {c} r^{2}+\ldots +\mathbf {g} r^{n-1}+\mathbf {h} r^{n}.$

D'autre part le produit (3), qui croîtra en passant d’une valeur nulle à sa valeur maximum, tandis que $r$ croîtra depuis zéro jusqu'à $\varrho ,$ sera toujours positif dans cet intervalle. Donc pour $r=$ ou $<\varrho ,$ on aura

(6)

$\mathbf {c} r^{2}+\ldots +\mathbf {g} r^{n-1}+\mathbf {h} r^{n}>\mathbf {b} r.$