![{\displaystyle z=\rho _{\varpi },\qquad z=\varrho _{\varpi }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dfd6cad62c0f9530d1df1894869d835a29d20c3)
Démonstration. Lorsque l’argument de
étant égal à
le module de
est égal ou inférieur à
le module du binôme
se réduit à la différence
![{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} r^{l}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/807c79f1ef79f0352ee9a94e8419b613bf74dc7e)
par conséquent le module de
ne surpasse pas la somme
(13)
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D'autre part, le produit (11), qui croîtra en passant d’une valeur nulle à sa valeur maximum, tandis que
croîtra depuis zéro jusqu'à
sera toujours positif dans cet intervalle. Donc, pour
ou
on aura
(14)
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Or il résulte immédiatement de cette dernière formule, que, si l’on réduit le module
au plus petit des deux nombres
la somme (13), et à plus forte raison le module de
offriront des valeurs inférieures au module
Donc le plus petit des modules de
correspondants aux valeurs
de
sera certainement inférieur au module ![{\displaystyle \mathbf {a} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a7fcfa72e94a4b8de190981d0e0fedaf7e8318)
Corollaire. Il est bon d’observer que, si l’on considère le produit (11) comme une fonction de
ce produit, qui croît toujours avec
quand on fait varier
entre les limites
offrira dans cet intervalle une dérivée toujours positive. Donc, pour
on aura toujours
(15)
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ou, ce qui revient au même,
![{\displaystyle l\mathbf {b} r^{l}-m\mathbf {c} r^{m}-\ldots -n\mathbf {h} r^{n}>0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa4a8d552bb30f39f7f2de27c7a4b8de3309a3d)
puis on en conclura
(16)
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Or, en vertu de cette dernière formule, qui entraîne évidemment avec elle la condition (t4), le module
surpassera la