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Désignons maintenant par $\operatorname {f} (z)$ la valeur de $Z$ exprimée en fonction de $z.$ Si l’on attribue à $z$ un accroissement infiniment petit $\Delta z,$ l’accroissement correspondant

$\Delta Z=\operatorname {f} (z+\Delta z)-\operatorname {f} (z)$

de la fonction $\operatorname {f} (z)$ supposée continue sera lui-même infiniment petit. Mais le rapport

(1)

${\frac {\Delta Z}{\Delta z}}={\frac {\operatorname {f} (z+\Delta z)-\operatorname {f} (z)}{\Delta z}}$

conservera généralement une valeur finie. Si d’ailleurs on fait converger $\Delta z$ vers la limite zéro, il arrivera souvent que le rapport (1) convergera vers une limite unique et finie. Cette limite, que l’on nomme la dérivée de la fonction $Z,$ s’indique à l’aide de la notation $Z'$ ou $\operatorname {f} '(z),$ ou bien encore à l’aide de la notation $D_{z}Z$ ou $D_{z}\operatorname {f} (z).$ Si, tandis que $\Delta z$ s’approche de zéro, le rapport ${\frac {\Delta Z}{\Delta z}}$ ne s’approchait pas indéfiniment d’une limite unique et finie, la dérivée $Z'$ ou $\operatorname {f} '(z)$ devrait être censée acquérir une valeur infinie ou multiple ou indéterminée, savoir, une valeur infinie, si le module du rapport ${\frac {\Delta Z}{\Delta z}}$ croissait indéfiniment ; une valeur multiple ou indéterminée, dans le cas contraire.

Les différentielles $dz,\,dZ$ de la variable $z$ et de la fonction $Z$ ne sont autre chose que des quantités géométriques dont le rapport est précisément la limite du rapport entre les accroissements infiniment petits $\Delta z,\,\Delta Z.$ En conséquence, $dZ$ est liée à $dz$ par la formule

(2)

${\frac {dZ}{dz}}=D_{z}Z\qquad {\text{ou}}\qquad dZ=D_{z}Zdz,$

dans laquelle la différentielle $dz$ de la variable indépendante $z$ reste arbitraire.

En général, les différentielles de plusieurs quantités géométriques ne sont autre chose que de nouvelles quantités géométriques, dont les rapports se réduisent aux limites des rapports entre les accroissements infiniment petits des premières.