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Si maintenant $K$ est une fonction périodique de $x,$ qui ne varie pas quand on y fait croître $x$ de $a,$ il en sera de même de la fonction $H,$ qui pourra être développée en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes de l’exponentielle trigonométrique $e^{\alpha x\mathrm {i} },$ la valeur de $\alpha$ étant ${\frac {2\pi }{a}}\,;$ et alors, en posant

$H=h_{0}+h_{1}e^{\alpha x\mathrm {i} }+\ldots +h_{-1}e^{-\alpha x\mathrm {i} }+\ldots ,$

on trouvera

$\int Hdx=h_{0}x+{\frac {1}{\alpha \mathrm {i} }}\left(h_{1}e^{\alpha x\mathrm {i} }+\ldots -h_{-1}e^{-\alpha x\mathrm {i} }-\ldots \right)+{\text{const.}}$

Par suite $A$ se réduira simplement à une fonction périodique de $x,$ si l’on choisit $s$ de manière que $h_{0}$ s’évanouisse. Or, $h_{0}$ étant la valeur moyenne de $H,$ la condition énoncée sera remplie si l’on pose

$s=ku,$

$k$ étant choisi de manière que la valeur moyenne de $1-{\frac {k}{K}}$ s’évanouisse, ou, ce qui revient au même, si l’on détermine $s$ et $k$ à l’aide des formules

(18)

$s=ku,\qquad {\frac {1}{k}}={\frac {1}{a}}\int _{0}^{a}{\frac {dx}{K}}.$

D'ailleurs on reconnaîtra facilement que l’intégrale élémentaire fournie par l’équation (14) jointe aux formules (15), (17) et (18), coïncide avec l’intégrale que donne le développement en série, effectué à l’aide de la méthode ci-dessus indiquée dans le cas où la fonction périodique $K$ diffère peu de sa valeur moyenne $k_{0}.$