Si maintenant
est une fonction périodique de
qui ne varie pas quand on y fait croître
de
il en sera de même de la fonction
qui pourra être développée en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes de l’exponentielle trigonométrique
la valeur de
étant
et alors, en posant
![{\displaystyle H=h_{0}+h_{1}e^{\alpha x\mathrm {i} }+\ldots +h_{-1}e^{-\alpha x\mathrm {i} }+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23129652b02e301b979f8271b88ed225180c381b)
on trouvera
![{\displaystyle \int Hdx=h_{0}x+{\frac {1}{\alpha \mathrm {i} }}\left(h_{1}e^{\alpha x\mathrm {i} }+\ldots -h_{-1}e^{-\alpha x\mathrm {i} }-\ldots \right)+{\text{const.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a7f0a6fe2787a5b5d424b9470b60752b5d9a0a)
Par suite
se réduira simplement à une fonction périodique de
si l’on choisit
de manière que
s’évanouisse. Or,
étant la valeur moyenne de
la condition énoncée sera remplie si l’on pose
![{\displaystyle s=ku,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9379fe56e6f9e7ebf2a776b88dbd39c6024c808)
étant choisi de manière que la valeur moyenne de
s’évanouisse, ou, ce qui revient au même, si l’on détermine
et
à l’aide des formules
(18)
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D'ailleurs on reconnaîtra facilement que l’intégrale élémentaire fournie par l’équation (14) jointe aux formules (15), (17) et (18), coïncide avec l’intégrale que donne le développement en série, effectué à l’aide de la méthode ci-dessus indiquée dans le cas où la fonction périodique
diffère peu de sa valeur moyenne ![{\displaystyle k_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de697f045d81724a11f8d05ab007bc39d7ebee13)