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on aura simplement

(6)

$\mathrm {L\ =G} \ +\operatorname {D} _{u}^{2}\mathrm {H} ,\ {\text{ etc}}\ldots \qquad \mathrm {P} \ =\operatorname {D} _{v}\operatorname {D} _{w}\mathrm {H} ,\ {\text{ etc}}\ldots$

(7)

$\mathrm {L_{_{'}}=G_{_{'}}} +\operatorname {D} _{u}^{2}\mathrm {H} _{_{'}},{\text{ etc}}\ldots \qquad \mathrm {P} _{_{'}}=\operatorname {D} _{v}\operatorname {D} _{w}\mathrm {H} _{_{'}},{\text{ etc}}\ldots$

et par suite les formules (3) deviendront

(8)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}\operatorname {D} _{t}^{2}\xi =&\mathrm {G} \xi &+&\operatorname {D} _{u}(\operatorname {D} _{u}\mathrm {H} \xi &+&\operatorname {D} _{v}\mathrm {H} \eta &+&\operatorname {D} _{w}\mathrm {H} \zeta )\\+&\mathrm {G} _{_{'}}\xi _{_{'}}&+&\operatorname {D} _{u}(\operatorname {D} _{u}\mathrm {H} _{_{'}}\xi _{_{'}}&+&\operatorname {D} _{v}\mathrm {H} _{_{'}}\eta _{_{'}}&+&\operatorname {D} _{w}\mathrm {H} _{_{'}}\zeta _{_{'}}),\\\operatorname {D} _{t}^{2}\eta =&\mathrm {G} \eta &+&\operatorname {D} _{v}(\operatorname {D} _{u}\mathrm {H} \xi &+&\operatorname {D} _{v}\mathrm {H} \eta &+&\operatorname {D} _{w}\mathrm {H} \zeta )\\+&\mathrm {G} _{_{'}}\eta _{_{'}}&+&\operatorname {D} _{v}(\operatorname {D} _{u}\mathrm {H} _{_{'}}\xi _{_{'}}&+&\operatorname {D} _{v}\mathrm {H} _{_{'}}\eta _{_{'}}&+&\operatorname {D} _{w}\mathrm {H} _{_{'}}\zeta _{_{'}}),\\\operatorname {D} _{t}^{2}\zeta =&\mathrm {G} \zeta &+&\operatorname {D} _{w}(\operatorname {D} _{u}\mathrm {H} \xi &+&\operatorname {D} _{v}\mathrm {H} \eta &+&\operatorname {D} _{w}\mathrm {H} \zeta )\\+&\mathrm {G} _{_{'}}\zeta _{_{'}}&+&\operatorname {D} _{w}(\operatorname {D} _{u}\mathrm {H} _{_{'}}\xi _{_{'}}&+&\operatorname {D} _{v}\mathrm {H} _{_{'}}\eta _{_{'}}&+&\operatorname {D} _{w}\mathrm {H} _{_{'}}\zeta _{_{'}}),\\\end{alignedat}}\right.$

Ajoutons que, si l’on échange entre eux les deux systèmes de molécules donnés, on obtiendra, non plus les équations (6), mais trois équations de même forme, qui, jointes aux équations (6), pourront servir à déterminer les valeurs des six inconnues

$\xi ,\quad \eta ,\quad \zeta \,;\quad \xi _{_{'}},\quad \eta _{_{'}},\quad \zeta _{_{'}},$

en fonctions des quatre variables indépendantes $x,y,z,t.$

D'après ce qu'on vient de voir, les équations du mouvement d’un double système de molécules sont des équations linéaires. Les coefficients qu'elles renferment sont généralement variables avec les coordonnées $x,y,z.$ Mais ces coefficients étant nécessairement réels, il en résulte qu'on peut considérer les déplacements effectifs

$\xi ,\quad \eta ,\quad \zeta \,;\quad \xi _{_{'}},\quad \eta _{_{'}},\quad \zeta _{_{'}}$

comme représentant les parties réelles d’inconnues imaginaires qui satisferaient à ces mêmes équations. Ces inconnues imaginaires, que je désignerai par les notations

$\xi ,\quad {\overline {\eta }},\quad {\overline {\zeta }}\,;\quad {\overline {\xi _{_{'}}}},\quad {\overline {\eta _{_{'}}}},\quad {\overline {\zeta _{_{'}}}},$