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en sorte qu'on aura

(6)

$\mathrm {K} =\mathbf {S} k_{l\alpha ,l'\beta ,l''\gamma }e^{l\alpha {\mathfrak {x}}\mathrm {i} }e^{l'\beta {\mathfrak {y}}\mathrm {i} }e^{l''\gamma {\mathfrak {z}}\mathrm {i} },$

la sommation qu'indique le $\mathbf {S}$ s’étendant à toutes les valeurs entières, positives, nulles ou négatives des quantités $l,l',l''\,;$ et pour satisfaire aux équations données, il suffira de développer non-seulement chaque coefficient, mais encore chaque inconnue, en une série de même forme, en posant, par exemple,

(7)

${\text{Ȣ}}=\mathbf {S} {\text{Ȣ}}_{l\alpha ,l'\beta ,l''\gamma }e^{l\alpha {\mathfrak {x}}\mathrm {i} }e^{l'\beta {\mathfrak {y}}\mathrm {i} }e^{l''\gamma {\mathfrak {z}}\mathrm {i} },$

puis d’égaler entre eux, dans les deux membres de chacune des équations obtenues, les coefficients des puissances semblables des exponentielles

$e^{\alpha {\mathfrak {x}}\mathrm {i} },\quad e^{\beta {\mathfrak {y}}\mathrm {i} },\quad e^{\gamma {\mathfrak {z}}\mathrm {i} }.$

En opérant comme on vient de le dire, et supposant que dans les développements des inconnues on néglige les termes où la somme des valeurs numériques des trois quantités

$l,\quad l',\quad l''$

surpasse un nombre donné $\mathrm {N} ,$ on obtiendra un nombre fini d’équations auxiliaires qui renfermeront, à la place de l’inconnue Ȣ les inconnues

${\text{Ȣ}}_{0},\ \ {\text{Ȣ}}_{\alpha },\ \ {\text{Ȣ}}_{\beta },\ \ {\text{Ȣ}}_{\gamma },\ \ {\text{Ȣ}}_{2\alpha },\ \ {\text{Ȣ}}_{2\beta },\ \ {\text{Ȣ}}_{2\gamma },\ \ {\text{Ȣ}}_{\alpha ,\beta },\ {\text{etc.}},$

dont la première, ${\text{Ȣ}}_{0}$ représentera précisément la valeur moyenne de Ȣ, considéré comme fonction de ${\mathfrak {x,y,z}}\,;$ puis, en éliminant de ces équations toutes les inconnues, à l’exception d’une seule, on formera une équation caractéristique

(8)

$\Box \,{\text{Ȣ}}_{0}=0.$

Ajoutons qu'on pourra, si l’on veut, à l’aide d’éliminations,réduire les équation auxiliaires à ne contenir d’autres incon-