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Jusqu'ici nous avons supposé que le nombre des points donnés se réduisait à trois. Mais les mêmes raisonnements pourraient être appliqués au cas où l’on considérerait une fonction isotrope des coordonnées rectangulaires ou obliques de divers points matériels, quel que fût le nombre de ces points, et l’on se trouverait alors conduit aux propositions suivantes.

Cinquième théorème. Toute fonction isotrope des coôrdonnés rectilignes de divers points peut être réduite à une fonction de leurs distances à l’origine, de leurs distances mutuelles, et des quantités dont l’une quelconque, divisée par 6, représente, au signe près, le volume d’un tétraèdre que l’on forme en prenant pour sommets l’origine et trois de ces mêmes points.

Sixième théorème. Étant donnés divers points $\mathrm {P_{1},\,P_{2},\,P_{3}} ,\ldots$ si en nommant

$x_{n},\ \ y_{n},\ \ z_{n}$

les coordonnées rectangulaires du point $\mathrm {P} _{n},$ on pose généralement

(11)

$\rho _{n}=x_{n}^{2}+y_{n}^{2}+z_{n}^{2},$

(12)

$\varsigma _{m,n}=x_{m}x_{n}+y_{m}y_{n}+z_{m}z_{n},$

(13)

$\tau _{l,m,n}=x_{l}y_{m}z_{n}-x_{l}y_{n}z_{m}+x_{m}y_{n}z_{l}-x_{m}y_{l}z_{n}+x_{n}y_{l}z_{m}-x_{n}y_{m}z_{l},$

toute fonction isotrope des coordonnées des divers points pourra être réduite à une fonction des quantités de la forme

$\rho _{n},\qquad \varsigma _{m,n},\qquad \tau _{l,m,n},$

qui représentent les carrés des rayons vecteurs menés de l’origine aux points donnés, les produits que l’on forme en multipliant deux quelconques de ces rayons vecteurs par le cosinus de l’angle compris entre eux, ou, ce qui revient au même, en multipliant le premier de ces deux rayons par la