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l’origine à un point fixe $\mathrm {R} ,$ dont les coordonnées soient $a,b,c,$ on aura

(2)

${\text{ȣ}}=a\xi +b\eta +c\zeta \,;$

et de cette dernière formule jointe aux équations (1), on tirera

(3)

$\operatorname {D} _{t}^{2}{\text{ȣ}}=a{\mathfrak {X}}+b{\mathfrak {Y}}+c{\mathfrak {Z}}.$

D'ailleurs, si les équations (I) sont isotropes, l’équation (3) devra rester inaltérable, quand on déplacera les axes coordonnés, à l’aide d’un mouvement de rotation quelconque imprimé à ces axes autour de l’origine ; et cette condition devra être remplie, quelle que soit la position attribuée au point fixe $\mathrm {R} .$ Donc alors le second membre de la formule (3) devra être une fonction symbolique isotrope des coordonnées $a,b,c,$ des déplacements $\xi ,\eta ,\zeta ,$ et des lettres caractéristiques $\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y},\operatorname {D} _{z}.$ Mais d’autre part le second membre de la formule (3) sera en même temps une fonction linéaire homogène des coordonnées $a,b,c,$ et une fonction linéaire homogène de $\xi ,\eta ,\zeta .$ Donc, ce second membre devra être de la forme de la fonction représentée par $\omega$ dans l’équation (25) du 4, en sorte qu'on aura

(4)

${\begin{aligned}a{\mathfrak {X}}+b{\mathfrak {Y}}+c{\mathfrak {Z}}&=\operatorname {E} (a\xi +b\eta +c\zeta )\\&+\operatorname {F} (a\operatorname {D} _{x}+b\operatorname {D} _{y}+c\operatorname {D} _{z})(\operatorname {D} _{x}\xi +\operatorname {D} _{y}\eta +\operatorname {D} _{z}\zeta )\\&+\operatorname {K} \left[a(\operatorname {D} _{z}\eta -\operatorname {D} _{y}\zeta )+b(\operatorname {D} _{x}\zeta -\operatorname {D} _{z}\xi )+c(\operatorname {D} _{y}\xi -\operatorname {D} _{x}\eta )\right],\end{aligned}}$

$\operatorname {E,F,K} ,$ désignant trois fonctions entières du trinôme

$\operatorname {D} _{x}^{2}+\operatorname {D} _{y}^{2}+\operatorname {D} _{z}^{2}.$

Enfin, la formule (4) devant subsister quelle que soit la position attribuée au point fixe $\mathrm {R}$ situé à l’unité de distance de l’origine, on pourr.a, dans cette formule, réduire l’une quelconque des trois coordonnées de ce point $\mathrm {R}$ à l’unité, les deux autres à zéro. On pourra donc égaler séparément entre