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et ainsi de suite. La probabilité des erreurs simultanées, $b-a+u',$ $\,b-a^{(1)}+u',$ etc., sera donc proportionnelle au produit des probabilités de ces erreurs, produit égal à

$k^{\frac {n}{2}}.c^{-k.\left((b-a+u')^{2}+\left(b-a^{(1)}+u'\right)^{2}+{\text{etc}}.\right)}\,;$

ou à

$k^{\frac {n}{2}}.c^{-k.\left((b-a)^{2}+\left(b-a^{(1)}\right)^{2}+{\text{etc}}.\right)-nku^{'2}}.$

La probabilité de $k$ sera proportionnelle à l’intégrale de cette fonction multipliée par $du',$ et intégrée depuis $u'=-\infty ,$ jusqu’à $u'$ infini ; en désignant donc par $\varepsilon ,$ la somme des quarrés $(b-a)^{2},$ $\left(b-a^{(1)}\right)^{2},$ etc., cette probabilité sera proportionnelle à

$k^{\frac {n-1}{2}}.c^{-k\varepsilon }.$

La valeur de $k$ qu’il faut choisir n’est pas, comme plusieurs géomètres le pensent, celle qui rend la fonction précédente, un maximum : elle est, comme je l’ai fait voir dans le n^o 23 de ma Théorie analytique des probabilités, la moyenne des produits de chaque valeur de $k$ par sa probabilité ; cette valeur est donc

${\frac {\int k^{\frac {n+1}{2}}.dk.c^{-k\varepsilon }}{\int k^{\frac {n-1}{2}}.dk.c^{-k\varepsilon }}},$

les intégrales étant prises depuis $k=0,$ jusqu’à $k$ infini. L’intégrale du numérateur est

$-{\frac {k^{\frac {n+1}{2}}.c^{-k\varepsilon }}{\varepsilon }}+{\frac {n+1}{2\varepsilon }}.\int k^{\frac {n-1}{2}}.dk.c^{-k\varepsilon },$