On aura ensuite
![{\displaystyle t={\frac {i\pi +q+\lambda }{n-m}}={\frac {i'\pi +q'+\lambda '}{n-m'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8349116286054250f43e2e7e2f63484b3739986)
d’où, en substituant pour
sa valeur
et faisant
![{\displaystyle \beta '=(m'-m).\beta -{\frac {\lambda .(m'-m)}{n-m}}-{\frac {i\pi .(m'-m)}{n-m}}-(i'-i).\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08943878d85cf2f697f59b736f1e2443e3668919)
on tire
![{\displaystyle q'=\left({\frac {n-m'}{n-m}}\right).q+\beta '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ad8346bab1c062d7e44ee4336708c5e340776f)
L’expression précédente de la hauteur de la mer devient ainsi, en substituant pour
sa valeur précédente, et pour
![{\displaystyle \lambda +m\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3301e78fd39b50acea12c5b8d723aa58dd849e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {A} .{\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}.cos.^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon .\left(1-2q^{2}\right)+\mathrm {A} '.{\frac {\mathrm {L'} }{r^{'3}}}.cos.^{4}\varepsilon '.\left(1-2q^{'2}\right)\\+&{\frac {1}{2}}\mathrm {B} .{\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}.sin.^{2}\varepsilon .cos.\left({\frac {2m(i\pi +\lambda )}{n-m}}-m\beta +{\frac {2nq}{n-m}}\right)\\+&{\frac {1}{2}}\mathrm {B} .{\frac {\mathrm {L'} }{r^{'3}}}.sin.^{2}\varepsilon '.cos.\left({\frac {2m(i\pi +\lambda )}{n-m}}-m\beta -2\delta +{\frac {2nq}{n-m}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2478c56f038800f1a3b36f7a6cdf79e41e9427ab)
La condition de la haute mer exige que la différentielle de cette fonction soit nulle : en la différenciant donc, et observant que l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}dq=&(n-m).dt;\\dq'=&(n-m').dt;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a3f77b39d4854ed8afd804f0cfd3f824ed0560)
on aura
![{\displaystyle 0=-4\mathrm {A} .{\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}.cos.^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon .(n-m).q-4\mathrm {A} '.{\frac {\mathrm {L'} }{r^{'3}}}.cos.^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon '.(n-m').q'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f1fac27939403f65196ac511d96ae657516dae)