L’expression complète de
sera donc
![{\displaystyle \varphi ={\frac {2\pi }{r}}\left({\frac {1}{a}}f_{1},(r+at)-{\frac {1}{a}}f_{1},(r-at)(r+at)\operatorname {F} (r+at)+(r-at)\operatorname {F} (r-at)\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f1ce18663c5a352748a80259027b97d4934a52)
expression qui se réduit à la forme :
![{\displaystyle \varphi ={\frac {1}{r}}\left(fonct.(r-at)+Fonct.(r+at)\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d0ef825797788107d5807fa21b975053e1f04c)
et qui coïncide avec l’intégrale connue.
(7) Dans le cas général, l’intégrale de l’équation (3) peut être présentée sous une autre forme, qui sera souvent utile dans les applications, sur-tout lorsqu’il s’agira, comme dans la théorie du son, de déterminer le mouvement d’un fluide dont l’ébranlement primitif a été circonscrit dans une étendue limitée.
Pour cela, soit
![{\displaystyle x=r\cos .\theta ,\qquad y=r\sin .\theta \sin .\psi ,\qquad z=r\sin .\theta \cos .\psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b95be258e74ef36d4427eb4f524ce94a43aca5b)
les angles
et
seront réels, et nous aurons
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46b9061d09ad6565c74ca8f94cdf4314a320b600)
Désignons par
et
ce que deviennent
et
lorsqu’on change
en
en sorte qu’on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}x+&at\cos .u=\rho \cos .\theta ',\\y+&at\sin .u\sin .v=\rho \sin .\theta '\sin .\psi ',\\z+&at\sin .u\cos .v=\rho \sin .\theta '\cos .\psi ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786559c929cb552c1dc67c555cd68f14e556b1aa)
et en même temps
![{\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+2atr\left(\cos .u\cos .\theta '+\sin .u\sin .\theta '\cos .(v-\psi ')\right)+a^{2}t^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5230d31d20813fd091416973c369f1587808d04)