Les angles
et
seront aussi réels, ainsi que
et
en désignant donc par
un certain angle réel, on pourra toujours supposer
![{\displaystyle \cos .u\cos .\theta '+\sin .u\sin .\theta '\cos .(v-\psi ')=\cos .\mu \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85101c41a271a4d369962acdef4a93e877273cce)
on aura alors
![{\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+2atr\cos .\mu +a^{2}t^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa64d62bef2c878f70ead81983b1f5cdc4b3eb9)
d’où il résulte que la valeur de
sera toujours comprise entre
et ![{\displaystyle r-at.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ccf0f73163a3b246de99a785d84edbcb1207b99)
Cela posé, représentons par
les valeurs des fonctions
et
qui répondent à
les fonctions qui entrent sous les signes d’intégration dans la valeur de
deviendront
pour une valeur quelconque de la variable
et l’intégrale de l’équation (3) prendra la forme :
![{\displaystyle \varphi =\iint f(\rho ,\theta ',\psi ')\sin .u\,du\,dv+{\frac {d.}{dt}}\iint \operatorname {F} (\rho ,\theta ',\psi ')\sin .u\,du\,dv.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a93a3cd7f19508c0c76eae94b7556e40c267e167)
Dans la théorie du son, les fonctions initiales
et
seront nulles, quels que soient les angles
et
pour toute valeur de
plus grande que le rayon de l’ébranlement primitif ; si donc on désigne ce rayon par
on aura aussi
![{\displaystyle f(\rho ,\theta ',\psi ')=0,\qquad \operatorname {F} (\rho ,\theta ',\psi ')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a129740ae3f31768cea8e324666fc89687cc780b)
quelles que soient les variables
et
pour toute valeur de
plus grande que
d’où l’on conclut que la quantité
d’où dépendent les vitesses des molécules fluides, ne cessera d’être nulle que quand la plus petite valeur de
ou
sera