pourvu que les puissances de
soient, comme précédemment (no 4), des signes d’opérations qui marquent des différentielles relatives à
divisées respectivement par
Cette dernière expression de
est la même chose que
![{\displaystyle \varphi =e^{atg^{2}}e^{ath^{2}}e^{atk^{2}}\mathrm {U} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3441a2e6bd1314300e66e1779671e1bd8099368b)
étant la base des logarithmes népériens. Or, d’après une formule connue, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{atg^{2}}=&{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-\alpha ^{2}}e^{2g\alpha {\sqrt {at}}}d\alpha ,\\e^{ath^{2}}=&{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-\beta ^{2}}e^{2h\beta {\sqrt {at}}}d\beta ,\\e^{atk^{2}}=&{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-\gamma ^{2}}e^{2k\gamma {\sqrt {at}}}d\gamma \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/561cf27f8c9fde39e6c60b2851321fae679b6865)
les intégrales étant prises depuis
jusqu’à
on aura donc
![{\displaystyle \varphi =\pi {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\iiint e^{-\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}}e^{2(g\alpha +h\beta +k\gamma ){\sqrt {at}}}\mathrm {U} \,d\alpha \,d\beta \,d\gamma \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2093bee626ed1baf3ab84a15cea69158bec2a36)
et comme, en vertu des analogies dont nous faisons usage, on a généralement
![{\displaystyle e^{2(g\alpha +h\beta +k\gamma ){\sqrt {at}}}f(x,y,z)=f\left(x+2\alpha {\sqrt {at}},\,y+2\beta {\sqrt {at}},\,z+2\gamma {\sqrt {at}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950b5358c72b7391cda6ffc33acd716c388dd784)
il en résulte qu’en prenant
nous aurons, pour l’intégrale complète de l’équation (7) sous forme finie,
![{\displaystyle \varphi =\iiint e^{-\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}}f\left(x+2\alpha {\sqrt {at}},\,y+2\beta {\sqrt {at}},\,z+2\gamma {\sqrt {at}}\right)d\alpha \,d\beta \,d\gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb8b2545c6c46187beaa7e11faa3d0d456a32ec)