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riables $\alpha$ et $\beta$ dans les variables $p$ et $q,$ cette valeur de $z$ prendra la forme :

${\begin{aligned}z=&{\frac {1}{4\pi \,bt}}\iint \psi (p,q)sin.\left({\frac {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}{4bt}}\right)dp\,dq\\&+{\frac {1}{4\pi \,b}}\iiint \Psi (p,q)sin.\left({\frac {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}{4bt}}\right){\frac {dt}{t}}dp\,dq.\end{aligned}}$

Ici il faudra que les intégrales relatives à $p$ et $q$ soient prises depuis $p=-{\frac {1}{0}},$ $q=-{\frac {1}{0}},$ jusqu’à $p=+{\frac {1}{0}},$ $q=+{\frac {1}{0}},$ non pas pour que la valeur de $z$ satisfasse à l’équation (10), mais pour qu’elle remplisse les conditions $z=\psi (x,y),$ ${\frac {dz}{dt}}=\Psi (x,y),$ quand $t=0.$

(16) La manière dont nous venons de déterminer la partie de $z$ qui répond à la fonction $\Psi ,$ est la plus simple ; mais elle n’est pas la plus directe ; et elle pourrait laisser quelque doute sur la généralité du résultat auquel nous sommes parvenus. Pour qu’il n’en reste aucun, il faut que la valeur de la quantité $\mathrm {Z}$ soit tirée de l’intégrale complète de l’équation (11) : en faisant abstraction de la fonction, on aura ensuite

$f(x,y)=-\operatorname {F} (x,y)={\frac {\mathrm {Z} }{2\pi \,b{\sqrt {-1}}}}\,;$

et il s’agira de savoir ce que devient l’expression de $z,$ relativement à ces valeurs des fonctions $f$ et $\operatorname {F} .$

Or, pour intégrer l’équation (11), il faut d’abord connaître une valeur particulière de $\mathrm {Z}$ qui satisfasse à cette équation : nous prendrons, pour cette valeur,

$\mathrm {Z} ={\frac {1}{\pi ^{2}}}\iiiint \Psi (p,q)\left({\frac {1-cos.g(x-p)cos.h(y-q)}{g^{2}+h^{2}}}\right)dg\,dh\,dp\,dq\,;$

les intégrales étant prises depuis $g=0,$ $h=0,$ $p=-{\frac {1}{0}},$