et alors son intégrale complète aura la forme :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\iint e^{x{\sqrt {b}}sin.u\,sin.v}\operatorname {F'} \left(t+x{\sqrt {a'}}cos.u\right)x\,sin.u\,du\,dv\\&\ +{\frac {d.}{dx}}\iint e^{x{\sqrt {b}}sin.u\,sin.v}f'\left(t+x{\sqrt {a'}}cos.u\right)x\,sin.u\,du\,dv\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29856c01776c82981f87619e9345c3aeac8cf7ec)
les limites des intégrales étant toujours les mêmes que précédemment, et
et
désignant les deux fonctions arbitraires. Ces fonctions se détermineront, dans ce cas, au moyen des valeurs de
et
qui répondent à
car, pour cette valeur de
on aura
![{\displaystyle \varphi =4\pi f't,\qquad {\frac {d\varphi }{dx}}=4\pi \operatorname {F} 't.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2809d00dad701bc1b619cdeb75dff286665e8e59)
(21) Si l’on veut vérifier si la valeur de satisfait à l’équation (13), on suivra la même marche que dans le no 5 : on considérera seulement la partie de cette valeur qui dépend de la fonction
et on l’écrira sous cette forme :
![{\displaystyle \varphi =\iint e^{t{\sqrt {b}}cos.u'}\operatorname {F} \left(x+t{\sqrt {a}}cos.u\right)t\,d\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc53b9f2130d12c66b81db806b2a44f13dca0d97)
Pour effectuer les intégrations, on prendra à volonté l’un ou l’autre de ces deux systèmes de valeurs :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}cos.u'=&sin.u\,sin.v,&d\omega =&sin.u\,du\,dv\,;\\cos.u\ =&sin.u'\,sin.v',\qquad &d\omega =&sin.u'du'dv'\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd8288ba51ed07f7d3d3cccec6de47b8b92843d)
et l’on intégrera, dans le premier cas, depuis
jusqu’à
et, dans le second, depuis
jusqu’à
les résultats de ces deux modes d’intégrations seront les mêmes, quelle que soit la fonction ![{\displaystyle \operatorname {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4815be788b5a7b7697937d2e2b33a5faeb04c21e)
En différentiant deux fois de suite par rapport à