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fait à une équation linéaire à coefficients constants, par une valeur quelconque $\varphi =\mathrm {T} ,$ on y satisfait aussi en prenant $\varphi ={\frac {d\mathrm {T} }{dt}}\,;$ ainsi l’intégrale complète que nous avons trouvée pour l’équation (13), satisfait effectivement à cette équation ; ce qu’il s’agissait de vérifier.

(22) Il est remarquable qu’on soit obligé, pour cette vérification, d’effectuer une partie de l’intégration sur les variables $u'$ et $v',$ et une autre partie sur les variables $u$ et $v.$ Ce changement de variables, dont nous avons déja fait usage dans le n^o 5, peut encore être utile dans d’autres occasions. Il est fondé sur une proposition dont l’énoncé le plus simple et le plus général est celui-ci : soit

$x=cos.u,\qquad y=sin.u\,sin.v,\qquad z=sin.u\,cos.v,$

et $f(x,y,z)$ une fonction quelconque de ces trois quantités ; l’intégrale double $\iint f(x,y,z)sin.u\,du\,dv,$ prise depuis $u=0$ et $v=0,$ jusqu’à $u=\pi$ et $v=2\pi ,$ conservera toujours la même valeur, quelque permutation qu’on fasse entre les trois quantités $x,\,y,\,z\,;$ c’est-à-dire, qu’entre ces limites d’intégrations, on aura toujours

$\iint f(x,y,z)sin.u\,du\,dv=\iint f(x,z,y)sin.u\,du\,dv$

$=\iint f(z,x,y)sin.u\,du\,dv,\quad$etc.

Cette proposition serait évidente, si la fonction $\operatorname {F}$ était symétrique par rapport aux trois variables ; on peut aussi la vérifier, en supposant cette fonction développable suivant les puissances entières et positives de ces variables ; mais, pour la démontrer d’une manière immédiate et générale, il faut