recourir à une construction géométrique, comme nous l’avons déja fait dans un cas semblable (no 1).
Concevons donc une sphère décrite d’un rayon pris pour unité ; par le centre de cette sphère, menons arbitrairement trois axes rectangulaires ; nous pourrons supposer que
sont les cosinus des angles qu’un rayon de cette sphère fait avec les trois axes :
et
seront les coordonnées polaires qui déterminent la direction de ce rayon ;
sera l’élément de la surface sphérique qui répond à son extrémité ; et enfin l’intégrale double
s’étendra à tous les points de cette surface. Or, nous pouvons changer les coordonnées
et
en deux autres coordonnées
et
et prendre celles-ci de manière que les trois cosinus
soient
![{\displaystyle z=cos.u',\qquad y=sin.u'sin.v',\qquad x=sin.u'cos.v'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed3b4e5d7c3b005f67c17964a4ea81f2e49febe9)
l’élément de la surface sera alors
et, pour, étendre l’intégrale à la surface entière, il faudra la prendre depuis
et
jusqu’à
et
Le résultat de ces intégrations relatives à
et
sera alors le même que celui qu’on obtient en intégrant par rapport à
et
en sorte que l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\iint f&(cos.u,\,sin.usin.v,\,cos.ucos.v)sin.u\,du\,dv\\&=\iint f(sin.u'cos.v',\,sin.u'sin.v',\,cos.u')sin.u'du'dv'\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b454afe6a3870369313b50a7af7071d06d136be)
ce qui revient à dire que l’on peut permuter entre elles les deux quantités
et
sous la fonction
sans changer la valeur de l’intégrale
pourvu qu’elle