Les limites de ces intégrales resteront indéterminées ; en sorte qu’elles ne sont pas des intégrales définies. La substitution de la caractéristique à la caractéristique n’a pas changé de nature, la valeur de cette dernière expression est toujours une série d’exponentielles multipliées par des coëfficients arbitraires, dont chaque terme satisfait isolément à l’équation aux différences partielles proposée ; et les fonctions etc., étant arbitraires, et pouvant être discontinues, ces deux expressions (a) et (b) sont équivalentes l’une à l’autre.
(24) On ne doit point oublier que ce ne sont pas des expressions de la nature de l’équation (b), que les géomètres ont en vue, lorsqu’ils cherchent les intégrales des équations aux différences partielles sous forme finic, sans quoi il faudrait dire que toutes les équations à coëfficients constants, et un grand nombre d’autres équations linéaires, sont intégrées depuis long-temps. Cependant il y a deux observations importantes à faire sur ce sujet.
1o Les expressions équivalentes (a) et (b) peuvent souvent servir à résoudre les problêmes qui conduisent à des équations aux différences partielles ; et comme elles satisfont à ces équations de la manière la plus générale[1], on ne peut pas craindre, en en faisant usage, de restreindre aucunement la généralité des solutions. C’est, en effet, la marche que nous avons suivie, M. Cauchy et moi, relativement à la théorie des ondes, et M. Fourrier, dans son Mémoire sur la distribution de la chaleur dans les corps solides.
- ↑ Voyez sur ce point la note imprimée dans le Bulletin de la Société phylomatique, novembre 1817.
