est ici la pression à la surface d’une couche de niveau du sphéroïde terrestre dont le rayon est
est la densité de cette couche, et
est le rapport de la circonférence au diamètre. L’intégrale doit être prise depuis
Maintenant, si l’on suppose
étant une constante, on aura
![{\displaystyle \Pi =k\rho ^{2}-k(\rho )^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad10725c31c8673b2713c8d537bce24ac3a85177)
étant la densité à la surface où
est nul ; l’équation précédente donnera donc
![{\displaystyle {\frac {d\rho }{da}}=-{\frac {n^{2}}{a^{2}}}.\int \rho \,a^{2}da,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b1c75f0484f7eebaccca29635731f0c205aea5)
en faisant
Supposons
on aura
![{\displaystyle a^{2}d\rho =a\,d\rho '-\rho '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/493b38bd74fc46816effdba3f19c0e469fbb093e)
l’équation précédente devient ainsi
![{\displaystyle {\frac {a\,d\rho '}{da}}-\rho '=-n^{2}\int a\,\rho '.da.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67a9a4bb63e26ff3c2397f67947a3eb5518b9f8b)
En différenciant, on aura
![{\displaystyle {\frac {d\,d\rho '}{da^{2}}}+n^{2}\rho '=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b038c238f2a3f0578451417ff30d61f1ed1185fa)
L’intégrale de cette équation est
![{\displaystyle \rho '=\mathrm {A} .sin.an+\mathrm {B} .cos.an\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894d5a7973aedf4615f4c6cb3a5fa3b765855c21)
et
étant deux constantes arbitraires. On aura donc
![{\displaystyle \rho ={\frac {\mathrm {A} }{a}}.sin.an+{\frac {\mathrm {B} }{a}}.cos.an.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d543742a9dfa4478075f67881a222416fbc36d)
La densité n’étant point infinie au centre où
est nul, on a
par conséquent,
![{\displaystyle \rho ={\frac {\mathrm {A} }{a}}.sin.an.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23062da49a5d38d1d94cbc787aca4d8ec13e47f4)