de l’unité :
![{\displaystyle x={\frac {-1+{\sqrt {-7}}}{6}}+{\frac {1}{3}}\left\{{\sqrt[{3}]{\left(7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}+{\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}+{\sqrt[{3}]{\left(7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc47567e0847c1b5094eb6fec211e72a899fa1bf)
Cette formule, en y combinant les radicaux cubes des trois manières convenables, donne trois racines de l’équation
![{\displaystyle x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a8cf84ac0158727eac3ff9fbe06c5591a6c7fbb)
et, en y faisant ensuite le radical quarré
par-tout de signe contraire, elle donnera les trois autres ; ce qui est évident par les valeurs précédentes de
et
qui ne different que par le signe de ![{\displaystyle {\sqrt {-7}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e511ecca742178e0bcba576ad08b16714995fe)
17. Actuellement, évaluons cette formule imaginaire relativement au nombre premier
afin d’obtenir les six nombres entiers, autres que l’unité, qui résolvent l’équation
![{\displaystyle x^{7}-1=\mathrm {M} .43.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93cf7c56bcb9e1637a02e709fcb182b2dd689e79)
Nous trouverons d’abord que, relativement à
le radical
équivaut à
et le radical
à
Adoptons la première valeur de
savoir,
l’une ou l’autre de
car cela est indifferent, puisque
entre en même temps avec des signes contraires, sous les deux radicaux cubes. La formule nous donnera d’abord :
![{\displaystyle x={\frac {5}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {(7-3+12)}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {(7-3-12)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e1faaecf4841f6cf156d4d9c4b10cb151ed8c2)
ou
![{\displaystyle x={\frac {5}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {16}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {-8}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dde31e81180c904f609e8b66e7b183d0383fa74)