Car si la racine cube de cette expression ne pouvait revenir qu’à l’irrationnelle
étant un non-résidu de quarré, alors la formule
![{\displaystyle x=\mathrm {A} +{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\left(a+b{\sqrt {k}}\right)^{3}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\left(a-b{\sqrt {k}}\right)^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d51fa162673c4bb08363d89c3d8ed73934d30d)
ne pourrait donner qu’une seule racine entière pour l’équation
![{\displaystyle x^{7}-1=\mathrm {M} p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73ec6a93149551031f4c4c57758f4ad0e31aeae)
tandis qu’elle doit en donner trois par l’hypothèse de
divisible par
En effet, les deux autres racines seraient :
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'\;=&\mathrm {A} +{\frac {1}{3}}\alpha {\sqrt[{3}]{\left(a+b{\sqrt {k}}\right)^{3}}}+{\frac {1}{3}}\beta {\sqrt[{3}]{\left(a-b{\sqrt {k}}\right)^{3}}},\\x''=&\mathrm {A} +{\frac {1}{3}}\beta {\sqrt[{3}]{\left(a+b{\sqrt {k}}\right)^{3}}}+{\frac {1}{3}}\alpha {\sqrt[{3}]{\left(a-b{\sqrt {k}}\right)^{3}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a266c8435e57976fa9a0c079a1374405881d0cf3)
et
étant les deux racines cubiques imaginaires de l’unité ; et ces deux racines
et
répondraient nécessairement à des entiers, puisqu’on suppose
divisible
Mais par ces entiers étant différents, les irrationnelles
ne se détruiraient point dans ces formules ; de sorte que
et
seraient nécessairement irrationnelles, ce qui est contre T’hypothèse.
24. Au reste, tout ce que je viens de dire dans les deux exemples précédents, est une suite naturelle de la démonstration générale par laquelle j’ai fait voir la composition semblable de la formule qui exprime les racines de l’équation bineme
et de celle qui représenterait actuellement les solutions entières de l’équation indéterminée
J’ai voulu suivre et vérifier tous ces détails sur la formule des racines septièmes de l’unité ; mais si l’on