Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/493

Car si la racine cube de cette expression ne pouvait revenir qu’à l’irrationnelle $a\pm b{\sqrt {k}}$ $k$ étant un non-résidu de quarré, alors la formule

$x=\mathrm {A} +{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\left(a+b{\sqrt {k}}\right)^{3}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\left(a-b{\sqrt {k}}\right)^{3}}}$

ne pourrait donner qu’une seule racine entière pour l’équation

$x^{7}-1=\mathrm {M} p,$

tandis qu’elle doit en donner trois par l’hypothèse de $p-1$ divisible par $7.$ En effet, les deux autres racines seraient :

${\begin{aligned}x'\;=&\mathrm {A} +{\frac {1}{3}}\alpha {\sqrt[{3}]{\left(a+b{\sqrt {k}}\right)^{3}}}+{\frac {1}{3}}\beta {\sqrt[{3}]{\left(a-b{\sqrt {k}}\right)^{3}}},\\x''=&\mathrm {A} +{\frac {1}{3}}\beta {\sqrt[{3}]{\left(a+b{\sqrt {k}}\right)^{3}}}+{\frac {1}{3}}\alpha {\sqrt[{3}]{\left(a-b{\sqrt {k}}\right)^{3}}},\end{aligned}}$

$\alpha$ et $\beta$ étant les deux racines cubiques imaginaires de l’unité ; et ces deux racines $\alpha$ et $\beta$ répondraient nécessairement à des entiers, puisqu’on suppose $p-1$ divisible $3.$ Mais par ces entiers étant différents, les irrationnelles $b{\sqrt {k}}$ ne se détruiraient point dans ces formules ; de sorte que $x'$ et $x''$ seraient nécessairement irrationnelles, ce qui est contre T’hypothèse.

24. Au reste, tout ce que je viens de dire dans les deux exemples précédents, est une suite naturelle de la démonstration générale par laquelle j’ai fait voir la composition semblable de la formule qui exprime les racines de l’équation bineme $x^{n}-1=0,$ et de celle qui représenterait actuellement les solutions entières de l’équation indéterminée $x^{n}-1=\mathrm {M} p.$ J’ai voulu suivre et vérifier tous ces détails sur la formule des racines septièmes de l’unité ; mais si l’on