et par conséquent le nombre
qui est sous le radical quarré, doit toujours être un résidu de quarré relativement à
Ensuite, la partie
doit revenir au cube de l’expression
![{\displaystyle r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4},\qquad {\text{ou}}\qquad r+\alpha ^{2}r^{2}+\alpha r^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8280877e994e98d3230320ccc288f217d47df907)
c’est-à-dire, au cube de
![{\displaystyle r-{\frac {r^{2}+r^{4}}{2}}\pm {\frac {r^{2}-r^{4}}{2}}.{\sqrt {-3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91a1903aa63cdf89cd71511f9f44654b9ddedae)
expression rationnelle et réductible à un entier, si
est divisible par
car le radical
pourra se réduire alors à un entier relativement à ![{\displaystyle p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88532f4eab1d4cef71ef96c0f8c98cac36fd9257)
Dans le cas contraire, elle sera irrationnelle ; car
ne sera point un résidu de quarré exact par rapport au nombre
La racine cube de
pourra donc toujours être ramenée à la forme
en faisant :
![{\displaystyle a={\frac {2r-r^{2}-r^{4}}{2}}\qquad {\text{et}}\qquad b={\frac {r^{2}-r^{4}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2645a20a70c9ca335c95582766b9ffd6641532ca)
Le nombre
aura toujours trois valeurs différentes, qu’on trouvera en changeant les racines
les unes dans les autres ; de sorte qu’on aura :
![{\displaystyle a={\frac {2r-r^{2}-r^{4}}{2}}\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {2r^{2}-r^{4}-r}{2}}\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {2r^{4}-r-r^{2}}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279792d3583a1902e6615a97cd75df3f3fc88e00)
et le nombre
aura les trois valeurs correspondantes :
![{\displaystyle b={\frac {r^{2}-r^{4}}{2}},\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {r^{4}-r}{2}},\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {r-r^{2}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0608ff6ece0300cc27234a76a7add82c5f900732)