Ici le nombre
est un quarré dont la racine est
les valeurs des radicaux cubes précédents sont donc :
et
et
et
comme nous l’avons trouvé précédemment ; et les valeurs qui doivent aller ensemble dans la formule se trouvent ici tout accouplées, comme cela résulte nécessairement de notre analyse.
28. Pour le nombre premier
on a les racines
![{\displaystyle r,\quad r^{2},\quad r^{4},\quad r^{3},\quad r^{6},\quad r^{5},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e9f3c7d13cf435d0ae21b166ed185b48f76e786)
respectivement égales à
![{\displaystyle -4,\quad -13,\quad -5;\quad -6,\quad 7,\quad -9;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55b1a50c9ff05c147f42a1ba942372882324b16)
on aura donc :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{\left(7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}=&\quad \ \ 5\pm \ \ 4{\sqrt {-3}},\\\alpha {\sqrt[{3}]{\left(7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}=&\quad \ \ 6\pm 14{\sqrt {-3}},\\\alpha ^{2}{\sqrt[{3}]{\left(7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}=&-11\pm 10{\sqrt {-3}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60bb49c9eff7b1ddb7817c9efe47208535a7f382)
On trouverait de même les trois valeurs de
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\left(7+{\frac {\sqrt {-7}}{2}}\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d52d9c9ddb91fa792181cbcdb969bb15a1a6a0)
en employant les racines
au lieu des racines
Mais ici
n’est point un quarré relativement à
et ces radicaux cubes demeurent irrationnels ; ce qui s’accorde entièrement avec ce que nous avons trouvé d’une autre manière, et nous ramène exactement aux mêmes valeurs déja obtenues pour ces radicaux. Et en effet,
équivaut à
de même,
équivaut à
etc., etc., et ainsi des autres.