Vous voyez que les trois nombres
sont donnés
l’un après l’autre, par l’emploi des trois signes radicaux cubiques,
en les combinant de cette manière :
![{\displaystyle \ \ {\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4e6dcd98611a060f0dbf6a5638f76ae7fb5d9d)
avec
![{\displaystyle \quad \;\ {\sqrt[{3}]{\mathrm {A} '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ccfa1cea315bdb08738c9786594c883f49cbeaf)
![{\displaystyle \alpha {\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8fb24afe02b83e7b0f2676966c7758971c42b8)
avec
![{\displaystyle \quad \beta {\sqrt[{3}]{\mathrm {A} '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d6976f3901685f51ad1fa25fda001f0649ca3ff)
![{\displaystyle \beta {\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e6bbba016bba3680a9a8422f1e047ba6e18825)
avec
![{\displaystyle \quad \alpha {\sqrt[{3}]{\mathrm {A} '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/547f6d9fe6accb1915adc5fed0ff1c0377447609)
Or, il est clair que ces trois racines
seraient également données en ne faisant usage que d’un seul signe pour chaque radical, mais en changeant sous ces radicaux la place des racines, sans troubler l’ordre qui règne entre elles. La somme
ne varie point par ces changements : les cubes
et
ne varient pas non plus ; mais leurs racines cubiques prennent leurs trois valeurs différentes. Ainsi la permutation des racines sous le radical équivaut au changement du signe de ce radical.
Si, au lieu de faire entre les racines ces permutations simultanées, on changeait la racine
qu’on emploie, en une autre, comme
par exemple, alors la somme
deviendrait
et
deviendraient
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}=\left(r^{2}+\alpha r^{4}+\beta r^{8}\right)^{3},\qquad \mathrm {A} '_{1}=\left(r^{2}+\beta r^{4}+\alpha r^{8}\right)^{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac0d0813a23b4c8a1c2dc0ac8da09178af7698b)
et la formule
au lieu de donner identiquement la racine
nous donnerait identiquement la racine
en conservant les mêmes signes radicaux qu’auparavant.