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Vous voyez que les trois nombres $r,\,r^{2},\,r^{4}$ sont donnés l’un après l’autre, par l’emploi des trois signes radicaux cubiques, en les combinant de cette manière :

$\ \ {\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}\quad$avec$\quad \;\ {\sqrt[{3}]{\mathrm {A} '}},$

$\alpha {\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}\quad$avec$\quad \beta {\sqrt[{3}]{\mathrm {A} '}},$

$\beta {\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}\quad$avec$\quad \alpha {\sqrt[{3}]{\mathrm {A} '}}.$

Or, il est clair que ces trois racines $r,\,r^{2},\,r^{4},$ seraient également données en ne faisant usage que d’un seul signe pour chaque radical, mais en changeant sous ces radicaux la place des racines, sans troubler l’ordre qui règne entre elles. La somme $\mathrm {L}$ ne varie point par ces changements : les cubes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ ne varient pas non plus ; mais leurs racines cubiques prennent leurs trois valeurs différentes. Ainsi la permutation des racines sous le radical équivaut au changement du signe de ce radical.

Si, au lieu de faire entre les racines ces permutations simultanées, on changeait la racine $r$ qu’on emploie, en une autre, comme $r^{2}$ par exemple, alors la somme $\mathrm {L}$ deviendrait $\mathrm {L} _{1}=r^{2}+r^{4}+r^{8};$ $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ deviendraient

$\mathrm {A} _{1}=\left(r^{2}+\alpha r^{4}+\beta r^{8}\right)^{3},\qquad \mathrm {A} '_{1}=\left(r^{2}+\beta r^{4}+\alpha r^{8}\right)^{3}\,;$

et la formule ${\frac {\mathrm {L} _{1}+{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} _{1}}}+{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} '_{1}}}}{3}},$ au lieu de donner identiquement la racine $r,$ nous donnerait identiquement la racine $r^{2},$ en conservant les mêmes signes radicaux qu’auparavant.