et enfin
est l’expression des huit racines primitives de
et par conséquent correspond aux huit racines primitives de
Or,
donc
donc
![{\displaystyle {\sqrt {\left(\pm {\sqrt {-1}}\right)}}=\pm 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/172752b1d50bab0a9c586f2ee4d985f98381b868)
et
![{\displaystyle \pm 2{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c1f5aeb0467a732bfcfdaaf7cd3ba60630ba3c)
enfin ![{\displaystyle {\sqrt {\sqrt {\sqrt {-1}}}}=\pm {\sqrt {2}},\quad \pm {\sqrt {-2}},\quad \pm {\sqrt {\left(2{\sqrt {-1}}\right)}},\quad \pm {\sqrt {\left(-2{\sqrt {-1}}\right)}}:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01266522eeb524412de1258f3fcfe854aeaa316c)
or,
![{\displaystyle {\sqrt {2}}=\pm 6,\quad {\sqrt {-2}}=\pm 7,\quad {\sqrt {\left(2{\sqrt {-1}}\right)}}=\pm 12,\quad {\sqrt {\left(-2{\sqrt {-1}}\right)}}=\pm 14.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a3ede782b9006e9efe17c4c304e9d0354fea7b)
et l’on a pour les huit racines primitives de
:
![{\displaystyle \pm 6,\quad \pm 7,\quad \pm 12,\quad \pm 14,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b8a1a4ec194df6122ab8455745c98c67e93df7)
ou plus simplement :
![{\displaystyle \pm 6,\quad \pm 7,\quad \pm 5,\quad \pm 3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79f1e39d35a99c95db223cdcb493f58a6430330)
VII. Soit
on aurait
d’où, en écartant les racines qui appartiennent aux équations
et
il vient l’équation
qui renferme les racines primitives de
et qui nous donne ainsi :
![{\displaystyle x={\sqrt[{3}]{\left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {-3}}{2}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02ef439eb507203901672b39bacc43299645b6d)
pour l’expression générale des racines primitives de ![{\displaystyle 19.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3560d42db42340014d88bf04caca0d8485b9b9aa)
Autrement : comme on a
considérez l’équation
![{\displaystyle x^{2}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5dd20693e992975ad2e75f51606b6fcca96a608)
dont la racine primitive est
considérez ensuite l’équation
![{\displaystyle x^{3}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10e3d06448c35526f55a90c6edf1fab794e6cdd)