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et il ne s’agit plus que d’avoir les racines, des quatre nombres $23,\,25,\,31,\,4.$

Or, au moyen de la table, on trouve sur-le-champ :

1^o ${\sqrt {23}}=\pm \ \ 8\,;$ et de là : $\quad {\sqrt {\ \ 8}}=\pm \ \ 7,\quad {\sqrt {-\ \ 8}}=\pm 19;$

2^o ${\sqrt {25}}=\pm \ \ 5;$ et de là : $\quad {\sqrt {\ \ 5}}=\pm 13,\quad {\sqrt {-\ \ 5}}=\pm \ \ 6;$

3^o ${\sqrt {31}}=\pm 20;$ et de là : $\quad {\sqrt {20}}=\pm 15,\quad {\sqrt {-20}}=\pm 12;$

4^o ${\sqrt {\ \ 4}}=\pm \ \ 2;$ et de là : $\quad {\sqrt {\ \ 2}}=\pm 17,\quad {\sqrt {-\ \ 2}}=\pm 11.$

Les $16$ racines primitives de $41$ sont donc :

$\pm 7,\ \ \pm 19,\ \ \pm 6,\ \ \pm 13,\ \ \pm 12,\ \ \pm 15,\ \ \pm 11,\ \ \pm 17.$

Les quatre racines $4^{\mathrm {mes} }$ de l’unité étant $+1,\,-1,\,+{\sqrt {-1}},\,-{\sqrt {-1}},$ donnent, relativement à $41,$ les nombres $1,\,-1,\,9,\,-9:$ si donc on multipliait une seule des racines $4^{\mathrm {mes} },$ de $23,$ comme $7,$ par exemple, par les quatre nombres successifs $1,\,-1,\,9,\,-9,$ on devrait retrouver aussi les quatre racines $4^{\mathrm {mes} }$ de $23.$ Or, en faisant ces produits, on a :

$7,\,-7,\,9.7,\,-9.7,$ ou réduisant $7,\,-7,\,-19,\,+19,$ comme ci-dessus. Et l’on aurait les autres de la même manière.

Si l’on prenait encore les quatre racines primitives de $x^{4}-1=0,$ qui sont marquées par ${\sqrt[{4}]{-1}}$ ou ${\sqrt {\sqrt {-1}}},$ et puis les quatre racines primitives de $x^{5}-1=0,$ qui sont ${\frac {-1\pm {\sqrt {5}}\pm {\sqrt {\left(-10\mp 2{\sqrt {5}}\right)}}}{4}},$ les seize produits deux à deux des premières par les secondes seraient les seize