Il est évident, en premier lieu, que la variation de
par rapport à
est nulle ; ainsi le terme
doit être omis. On aura maintenant, suivant les principes du calcul différentiel, les équations :
![{\displaystyle {\frac {dv}{dz}}={\frac {dv}{dr}}{\frac {dr}{dz}}\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}+{\frac {dv}{dr}}{\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5291608d4b1cdc911ce891e2c40682f69ad760)
![{\displaystyle {\frac {dv}{dy}}={\frac {dv}{dr}}{\frac {dr}{dy}}\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}+{\frac {dv}{dr}}{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed41b4894be06d33d19236311c372b9193e0bfd)
donc
![{\displaystyle {\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}={\frac {d^{2}v}{dr^{2}}}\left[\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}\right]+{\frac {dv}{dr}}\left[{\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}+{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}\right]\quad (a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2731d3638909824d23d20f1b6e391b38b44f516f)
Il faut remplacer dans le second membre les quantités
par leurs valeurs respectives. Pour cela, on tirera de l’équation
![{\displaystyle z=r{\frac {dr}{dz}}\qquad {\text{et}}\qquad 1=\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}+r{\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a632d2363c990f5c438f5fe6c5258b1c4140c8)
![{\displaystyle y=r{\frac {dr}{dy}}\qquad {\text{et}}\qquad 1=\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}+r{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0023a2105b83c0281ba19b9a6ea396f13b711a4)
et par conséquent
![{\displaystyle z^{2}+y^{2}=r^{2}\left[\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d61aef9b999f00853166993330d91cb87c0823af)
![{\displaystyle z=\left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}+r\left({\frac {d^{2}r}{dz^{2}}}+{\frac {d^{2}r}{dy^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4a7691495aa76b8eec688ebf8a37f16536dfb4)
La première, dont le premier membre est égal à
donne
![{\displaystyle \left({\frac {dr}{dz}}\right)^{2}+\left({\frac {dr}{dy}}\right)^{2}=1\qquad \qquad \qquad (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/188da379bb26652edf9d8f702352c22ec2f2a0d4)